A afirmação: “quaisquer que sejam os reais x e y, x < y ⇔ x2 < y2” é falsa ou verdadeira? Justifique.

A afirmação é verdadeira. Podemos provar isso usando a propriedade de que, se dois números são positivos, então sua ordem é preservada quando eles são elevados ao quadrado. Se x e y são números positivos, então x < y é equivalente a y - x > 0. Elevando ambos os lados ao quadrado, obtemos y² - 2xy + x² > 0, o que é equivalente a (y² > x²) + 2xy. Como 2xy é positivo, temos que y² > x² se e somente se x < y. Se x e y são números negativos, então x < y é equivalente a y - x > 0. Elevando ambos os lados ao quadrado, obtemos y² - 2xy + x² > 0, o que é equivalente a (y² > x²) + 2xy. Como 2xy é negativo, temos que y² > x² se e somente se x < y. Finalmente, se x e y têm sinais opostos, então x < y é equivalente a x + y < 0. Elevando ambos os lados ao quadrado, obtemos y² + 2xy + x² > 0, o que é equivalente a (y² > x²) - 2xy. Como -2xy é positivo, temos que y² > x² se e somente se x < y. Portanto, a afirmação é verdadeira para quaisquer que sejam os números reais x e y.