Prove: A afirmação: “para todo x real, é falsa ou verdadeira? Justifique. Suponha que P(x) = a0xn + a1xn − 1 + … + an − 1x + an seja um polinômio d...

A afirmação "para todo x real, é falsa ou verdadeira?" é verdadeira. Isso ocorre porque, para qualquer valor de x, a afirmação será verdadeira ou falsa, não há outra opção. Para provar que se α for raiz de P(x), então α será um divisor do termo independente an, podemos usar o Teorema de Briot-Ruffini. Se α é uma raiz de P(x), então podemos dividir P(x) por x - α usando o método de Briot-Ruffini. O resultado será um novo polinômio Q(x) de grau n-1 e um resto R, que é igual a P(α). Como α é uma raiz de P(x), então P(α) = 0, o que significa que R = 0. Portanto, podemos escrever P(x) como (x - α)Q(x). Agora, observe que o termo independente de P(x) é an, que é igual ao termo independente de (x - α)Q(x). O termo independente de (x - α) é -α, portanto, an é igual a -α vezes o termo independente de Q(x). Como os coeficientes de P(x) são inteiros, então o termo independente de Q(x) também é um número inteiro. Portanto, α é um divisor do termo independente an.