Seja f : [−1, 1] → ℝ dada por f (x) = x5 + x + 1. Justifique a afirmação: f tem pelo menos uma raiz no intervalo [−1, 0]. a) Prove que f (1) é o v...

a) Para provar que f(1) é o valor máximo de f, podemos calcular a derivada de f e verificar que ela é sempre positiva no intervalo [−1, 1]. Assim, f é crescente em todo o intervalo e, portanto, f(1) é o valor máximo de f. b) Para provar que existe x1 ∈ ]−1, 0[ tal que f(x1) é o valor mínimo de f, podemos utilizar o Teorema de Weierstrass, que afirma que toda função contínua em um intervalo fechado e limitado atinge seus valores máximo e mínimo nesse intervalo. Como f é contínua em [−1, 0], ela deve atingir seu valor mínimo em algum ponto x1 ∈ ]−1, 0[. c) Para provar que todo polinômio do grau 3 admite pelo menos uma raiz real, podemos utilizar o Teorema de Bolzano, que afirma que se uma função contínua f(x) assume valores de sinais opostos em dois pontos a e b, então existe pelo menos um ponto c entre a e b onde f(c) = 0. Como todo polinômio do grau 3 é contínuo, basta escolher dois valores a e b tais que f(a) e f(b) tenham sinais opostos. Por exemplo, podemos escolher a = −1 e b = 0. Temos que f(−1) = −1 e f(0) = 1, ou seja, f assume valores de sinais opostos em −1 e 0. Portanto, existe pelo menos um ponto c ∈ ]−1, 0[ onde f(c) = 0, ou seja, f tem pelo menos uma raiz real no intervalo [−1, 0].