Um ponto move-se sobre a semicircunferência x2 + y2 = 5, y ≥ 0. Suponha Determine o ponto da curva em que a velocidade de y seja o dobro da de x.

Para resolver esse problema, podemos utilizar a equação da velocidade em coordenadas polares: v = r * sqrt(r^2 * (dθ/dt)^2 + (dr/dt)^2) Onde r é o raio da semicircunferência, θ é o ângulo em relação ao eixo x e v é a velocidade. Sabemos que a velocidade de y é o dobro da de x, ou seja: dy/dt = 2 * dx/dt Podemos escrever dx/dt em termos de r e θ: dx/dt = -r * sin(θ) * dθ/dt E dy/dt em termos de r e θ: dy/dt = r * cos(θ) * dθ/dt Substituindo na equação da velocidade, temos: v = r * sqrt(r^2 * (dθ/dt)^2 + (-2r*sin(θ)*dθ/dt)^2) Simplificando, temos: v = r * sqrt(5 * (sin^2(θ) + 4*cos^2(θ))) Para encontrar o ponto em que a velocidade de y é o dobro da de x, precisamos encontrar o valor de θ que satisfaz a equação: r * sqrt(5 * (sin^2(θ) + 4*cos^2(θ))) = 2 * r * sqrt(5 * (cos^2(θ) + 4*sin^2(θ))) Simplificando, temos: sin^2(θ) + 4*cos^2(θ) = 4*cos^2(θ) + 16*sin^2(θ) 12*sin^2(θ) - 3*cos^2(θ) = 0 4*sin^2(θ) - cos^2(θ) = 0 cos(2θ) = 4/5 θ = arccos(sqrt(4/5))/2 Substituindo na equação da semicircunferência, temos: x = sqrt(5)/2 y = sqrt(15)/2 Portanto, o ponto da curva em que a velocidade de y é o dobro da de x é (sqrt(5)/2, sqrt(15)/2).