A posição de uma partícula que se desloca ao longo do eixo x depende do tempo de acordo com a equação x = −t3 + 3t2, t ≥ 0. Estude o sinal de v (t)...

A partir da equação x = -t³ + 3t², podemos obter a velocidade v(t) da partícula derivando a equação em relação ao tempo t: v(t) = dx/dt = -3t² + 6t Para estudar o sinal de v(t), precisamos encontrar os valores de t em que v(t) é igual a zero: -3t² + 6t = 0 t(6 - 3t) = 0 t = 0 ou t = 2 Podemos agora construir uma tabela para estudar o sinal de v(t): | t | 0 | 1 | 2 | |:-------:|:-------:|:-------:|:-------:| | v(t) | 0 | 3 | 0 | | sinal de v(t) | 0 | + | 0 | Portanto, a velocidade da partícula é positiva quando 0 < t < 2 e negativa quando t > 2. Para estudar o sinal da aceleração a(t), precisamos derivar a equação da velocidade em relação ao tempo: a(t) = dv/dt = -6t + 6 Podemos agora construir uma tabela para estudar o sinal de a(t): | t | 0 | 1 | 2 | |:-------:|:-------:|:-------:|:-------:| | a(t) | 6 | 0 | -6 | | sinal de a(t) | + | 0 | - | Portanto, a aceleração da partícula é positiva quando t < 1, nula quando t = 1 e negativa quando t > 1. Para esboçar o gráfico da função x = -t³ + 3t², t ≥ 0, podemos utilizar as informações obtidas sobre a posição, velocidade e aceleração da partícula: - A posição da partícula é dada pela função x = -t³ + 3t², que é uma função cúbica com raízes em t = 0 e t = 3. - A velocidade da partícula é positiva quando 0 < t < 2 e negativa quando t > 2. - A aceleração da partícula é positiva quando t < 1, nula quando t = 1 e negativa quando t > 1. Com essas informações, podemos esboçar o gráfico da função x = -t³ + 3t², t ≥ 0:  Resposta: letra (c).