Suponha f derivável no intervalo I. Prove que, se f for estritamente crescente em I, então f′(x) ≥ 0 para todo x em I.

Para provar que f′(x) ≥ 0 para todo x em I, precisamos mostrar que a derivada de f é sempre maior ou igual a zero em I. Como f é estritamente crescente em I, temos que para quaisquer dois pontos a e b em I, com a < b, temos que f(a) < f(b). Pela definição de derivada, temos que f′(x) é o limite da razão incremental de f(x) quando h se aproxima de zero. Ou seja, f′(x) = lim (h → 0) [f(x + h) - f(x)]/h. Como f é estritamente crescente em I, temos que f(x + h) > f(x) para h > 0 e f(x + h) < f(x) para h < 0. Portanto, a razão incremental [f(x + h) - f(x)]/h é sempre maior ou igual a zero para h > 0 e sempre menor ou igual a zero para h < 0. Assim, o limite da razão incremental de f(x) quando h se aproxima de zero é maior ou igual a zero para h > 0 e menor ou igual a zero para h < 0. Portanto, f′(x) ≥ 0 para todo x em I.