Sejam f, g duas funções deriváveis em ]a, b[, tais que f′(x) < g′ (x) ∀ x em ]a, b[. Suponha que exista c em ]a, b[, com f (c) = g (c). Prove que f...

Pelo Teorema do Valor Médio, temos que para todo x > c, existe um número ξ em ]c, x[ tal que: f(x) - f(c) = f'(ξ)(x - c) Analogamente, para todo x > c, existe um número η em ]c, x[ tal que: g(x) - g(c) = g'(η)(x - c) Como f'(x) < g'(x) para todo x em ]a, b[, temos que f'(ξ) < g'(η) para todo ξ, η em ]c, x[. Portanto, temos que: f(x) - f(c) < g(x) - g(c) ou seja, f(x) < g(x) para todo x > c. Da mesma forma, para todo x < c, existe um número ζ em ]x, c[ tal que: f(x) - f(c) = f'(ζ)(x - c) Analogamente, para todo x < c, existe um número ω em ]x, c[ tal que: g(x) - g(c) = g'(ω)(x - c) Como f'(x) < g'(x) para todo x em ]a, b[, temos que f'(ζ) < g'(ω) para todo ζ, ω em ]x, c[. Portanto, temos que: f(x) - f(c) > g(x) - g(c) ou seja, f(x) > g(x) para todo x < c. Portanto, concluímos que f(x) < g(x) para todo x > c e f(x) > g(x) para todo x < c.