Determine o polinômio de Taylor, de ordem 2, de f em volta de x0 dado. Utilizando polinômio de Taylor de ordem 2, calcule um valor aproximado e ava...

O polinômio de Taylor de ordem 2 de uma função f(x) em torno de x0 é dado por: P2(x) = f(x0) + f'(x0)(x - x0) + (f''(x0)/2!)(x - x0)^2 Para f(x) = ln(x), x0 = 1,3, temos: f(1,3) = ln(1,3) ≈ 0,262364 f'(x) = 1/x, f'(1,3) = 1/1,3 ≈ 0,769231 f''(x) = -1/x^2, f''(1,3) = -1/(1,3)^2 ≈ -0,591716 Substituindo na fórmula do polinômio de Taylor, temos: P2(x) = 0,262364 + 0,769231(x - 1,3) - 0,295858(x - 1,3)^2 Para calcular o valor aproximado de ln(1,03), basta substituir x = 1,03 na expressão acima: P2(1,03) ≈ 0,262364 + 0,769231(1,03 - 1,3) - 0,295858(1,03 - 1,3)^2 ≈ 0,030456 Para avaliar o erro, podemos usar o teorema do valor médio para o resto: |R2(x)| ≤ M(x - x0)^3/3!, onde M é um número real que satisfaz |f'''(t)| ≤ M para todo t entre x0 e x. Para f(x) = ln(x), temos f'''(x) = 2/x^3, que é decrescente no intervalo [1, 1,03]. Portanto, podemos usar o valor máximo de f'''(x) em [1, 1,03], que ocorre em x = 1,03: f'''(1,03) = 2/(1,03)^3 ≈ 1,87793 Assim, temos: |R2(1,03)| ≤ 1,87793(1,03 - 1,3)^3/3! ≈ 0,000027 Portanto, o valor aproximado de ln(1,03) usando o polinômio de Taylor de ordem 2 é P2(1,03) ≈ 0,030456, com um erro absoluto de aproximadamente 0,000027. Para a segunda parte da questão, temos que provar que para todo x no intervalo [0, 1], temos: ln(1 + x) ≤ x - x^2/2 Podemos usar o polinômio de Taylor de ordem 2 de ln(1 + x) em torno de x0 = 0: ln(1 + x) = x - x^2/2 + R2(x) Onde R2(x) é o resto da série de Taylor, dado por: R2(x) = (ln(1 + t)/2!)(x^2), onde t é um número entre 0 e x. Assim, temos: ln(1 + x) ≤ x - x^2/2 + (ln(1 + t)/2!)(x^2) Para 0 ≤ x ≤ 1, temos 0 ≤ t ≤ x ≤ 1, o que implica em ln(1 + t) ≤ t. Substituindo na desigualdade acima, temos: ln(1 + x) ≤ x - x^2/2 + (t/2!)(x^2) ≤ x - x^2/2 + (x/2!)(x^2) = x - x^2/2 + x^3/6 Portanto, temos: ln(1 + x) ≤ x - x^2/2 + x^3/6, para todo x no intervalo [0, 1].