Mostre que o volume do sólido, obtido pela rotação em torno da reta y = α do conjunto A, é igual ao produto da área de A pelo comprimento da circun...

Para mostrar que o volume do sólido, obtido pela rotação em torno da reta y = α do conjunto A, é igual ao produto da área de A pelo comprimento da circunferência descrita pelo centro de massa de A, podemos utilizar o Teorema de Pappus. O teorema afirma que o volume do sólido gerado pela rotação de uma região plana em torno de uma reta é igual ao produto da área da região pelo comprimento da trajetória descrita pelo centro de massa da região. Para calcular o volume do sólido obtido pela rotação do círculo x² + (y - 2)² ≤ 1 em torno do eixo x da reta y = 1, podemos utilizar o mesmo teorema. A área do círculo é π, e o centro de massa está em (0, 2). A trajetória descrita pelo centro de massa é uma circunferência de raio 1, centrada em (0, 1). Portanto, o volume do sólido é π vezes o comprimento da circunferência, que é 2π, ou seja, 2π². Para calcular o volume do sólido obtido pela rotação da região x² + 4y² ≤ 1 em torno da reta y = 1, podemos utilizar o mesmo teorema. A área da região é π/2, e o centro de massa está em (0, 0). A trajetória descrita pelo centro de massa é uma circunferência de raio 1, centrada em (0, 1). Portanto, o volume do sólido é π/2 vezes o comprimento da circunferência, que é 2π, ou seja, π². Para calcular o centro de massa de A = {(x, y) ∈ ℝ² | x⁴ ≤ y ≤ 1}, podemos utilizar as fórmulas para o centro de massa de uma região plana. Temos que a área de A é dada por ∫(x⁴, 1)∫(0, 2π) r dr dθ, onde r é a distância do ponto (r cos θ, r sin θ) ao eixo y = α. Fazendo a integração, encontramos que a área de A é 8π/5. Para calcular o centro de massa, precisamos calcular as integrais ∫(x⁴, 1)∫(0, 2π) r² cos θ dr dθ e ∫(x⁴, 1)∫(0, 2π) r² sin θ dr dθ. Fazendo as integrações, encontramos que o centro de massa de A é (0, 8π/15). Para calcular o volume do sólido obtido pela rotação de A em torno da reta y = 2, podemos utilizar o Teorema de Pappus novamente. A área de A é 8π/5, e o centro de massa está em (0, 8π/15). A trajetória descrita pelo centro de massa é uma circunferência de raio 8/15, centrada em (0, 2). Portanto, o volume do sólido é 8π/5 vezes o comprimento da circunferência, que é 4π/3, ou seja, 32π/15. Para calcular o volume do sólido obtido pela rotação do círculo x² + y² ≤ 1 em torno da reta x + y = 2, podemos utilizar o Teorema de Pappus novamente. A área do círculo é π, e o centro de massa está em (0, 0). A trajetória descrita pelo centro de massa é uma circunferência de raio √2, centrada em (2/√2, 2/√2). Portanto, o volume do sólido é π vezes o comprimento da circunferência, que é 4π, ou seja, 4π². Para mostrar que a área da superfície, obtida pela rotação em torno do eixo x do gráfico de f, é igual ao produto do comprimento do gráfico de f pelo comprimento da circunferência descrita pelo centro de massa do gráfico de f, podemos utilizar o Teorema de Pappus novamente. A área da superfície é dada por ∫(a, b) 2πf(x) √(1 + f'(x)²) dx, e o centro de massa está em (xc, yc), onde xc = ∫(a, b) x f(x) √(1 + f'(x)²) dx / ∫(a, b) f(x) √(1 + f'(x)²) dx e yc = 0. A trajetória descrita pelo centro de massa é uma circunferência de raio yc, centrada em (xc, 0). Portanto, a área da superfície é 2π vezes o comprimento do gráfico de f vezes o comprimento da circunferência, que é 2πyc, ou seja, 4π²yc. Para calcular o centro de massa da região A dada por 1 ≤ x² + y² ≤ 4, x ≥ 0 e y ≥ 0, podemos utilizar as fórmulas para o centro de massa de uma região plana. Temos que a área de A é dada por ∫(1, 2)∫(0, π) r dr dθ + ∫(2, √5)∫(0, arccos(1/r)) r dr dθ, onde r é a distância do ponto (r cos θ, r sin θ) ao eixo y = 0. Fazendo a integração, encontramos que a área de A é 3π/2. Para calcular o centro de massa, precisamos calcular as integrais ∫(1, 2)∫(0, π) r² cos θ dr dθ e ∫(1, 2)∫(0, π) r² sin θ dr dθ. Fazendo as integrações, encontramos que o centro de massa de A é (4/3, 4/3). Para calcular o centro de massa da região A dada por 4x² + y² ≤ 4, y ≥ 0, podemos utilizar as fórmulas para o centro de massa de uma região plana. Temos que a área de A é dada por ∫(0, 1)∫(0, 2π) r dr dθ + ∫(1, 2)∫(0, arccos(2/r)) r dr dθ, onde r é a distância do ponto (r cos θ, r sin θ) ao eixo y = 0. Fazendo a integração, encontramos que a área de A é 2π. Para calcular o centro de massa, precisamos calcular as integrais ∫(0, 1)∫(0, 2π) r² cos θ dr dθ e ∫(0, 1)∫(0, 2π) r² sin θ dr dθ. Fazendo as integrações, encontramos que o centro de massa de A é (4/3, 8/9). Para calcular o centro de massa do setor circular A dado por x² + y² ≤ R², 0 ≤ y ≤ αx e 0 ≤ x ≤ R, com R > 0 e 0 < α, podemos utilizar as fórmulas para o centro de massa de uma região plana. Temos que a área de A é dada por ∫(0, R)∫(0, αx) dy dx, onde y = αx é a equação da reta que delimita o setor. Fazendo a integração, encontramos que a área de A é αR²/2. Para calcular o centro de massa, precisamos calcular as integrais ∫(0, R)∫(0, αx) x dy dx e ∫(0, R)∫(0, αx) y dy dx. Fazendo as integrações, encontramos que o centro de massa de A é (αR/3, αR²/4). Para mostrar que, se a região A do plano pode ser dividida em duas partes A1 e A2 às quais se aplica, em relação ao eixo x, o Teorema de Pappus, então o Teorema de Pappus também se aplica a A em relação ao eixo x, podemos utilizar as fórmulas para o centro de massa de uma região plana. Temos que a área de A é a soma das áreas de A1 e A2, e o centro de massa de A é dado por (xc, yc), onde xc = (A1xc1 + A2xc2) / A e yc = (A1yc1 + A2yc2) / A, onde A1 e A2 são as áreas de A1 e A2, A é a área de A, e (xc1, yc1) e (xc2, yc2) são os centros de massa de A1 e A2. A trajetória descrita pelo centro de massa de A é uma circunferência de raio yc, centrada em (xc, 0). Portanto, o Teorema de Pappus também se aplica a A em relação ao eixo x. O resultado análogo em relação ao eixo y é estabelecido de forma semelhante. Para determinar o centro de massa de A1 = {(x, y) | 1 ≤ x ≤ 3, 1 ≤ y ≤ 2}, A2 = {(x, y) | 2 ≤ x ≤ 4, 2 ≤ y ≤ 3} e A a reunião de A1 e A2, podemos utilizar as fórmulas para o centro de massa de uma região plana. Temos que a área de A1 é 2 e a área de A2 é 2, e o centro de massa de A1 é dado por (2, 3/2) e o centro de massa de A2 é dado por (3, 5/2). Portanto, a área de A é 4 e o centro de massa de A é dado por (2.5, 2). Para determinar o centro de massa do conjunto −1 ≤ x ≤ 3 e 0 ≤ y ≤ (x + 1)², podemos utilizar as fórmulas para o centro de massa de uma região plana. Temos que a área de A é dada por ∫(-1, 3)∫(0, (x + 1)²) dy dx. Fazendo a integração, encontramos que a área de A é 40/3. Para calcular o centro de massa, precisamos calcular as integrais ∫(-1, 3)∫(0, (x + 1)²) x dy dx e ∫(-1, 3)∫(0, (x + 1)²) y dy dx. Fazendo as integrações, encontramos que o centro de massa de A é (2/3, 16/15). Para estabelecer um resultado análogo ao do Exercício 10 para o gráfico de uma função, podemos utilizar as fórmulas para o centro de massa de uma região plana. Temos que a área de A é dada por ∫(a, b) f(x) √(1 + f'(x)²) dx. Fazendo a integração, encontramos que a área de A é igual ao comprimento do gráfico de f. Para calcular o centro de massa, precisamos calcular as integrais ∫(a, b) x f(x) √(1 + f'(x)²) dx e ∫(a, b) f(x) √(1 + f'(x)²) dx. Fazendo as integrações, encontramos que o centro de massa de A é dado por (xc, yc), onde xc = ∫(a, b) x f(x) √(1 + f'(x)²) dx / ∫(a, b) f(x) √(1 + f'(x)²) dx e yc = 0. A trajetória descrita pelo centro de massa é uma circunferência de raio yc, centrada em (xc, 0). Portanto, o Teorema de Pappus também se aplica ao gráfico de f em relação ao eixo x.