Mostre que a área da superfície, obtida pela rotação em torno do eixo x do gráfico de f, é igual ao produto do comprimento do gráfico de f pelo com...

Para resolver esse problema, podemos utilizar o método dos discos ou o método das cascas. Vamos utilizar o método dos discos. Seja f(x) a função que descreve o gráfico que será rotacionado em torno do eixo x. A área da superfície gerada pela rotação é dada por: S = 2π ∫[a,b] f(x) √(1 + [f'(x)]²) dx Onde a e b são os limites de integração. Para encontrar o centro de massa do gráfico de f, podemos utilizar a fórmula: x = (1/A) ∫[a,b] x*f(x) dx Onde A é a área do gráfico de f. A circunferência descrita pelo centro de massa do gráfico de f tem comprimento igual a: C = 2π * √(A/π) Substituindo a fórmula do centro de massa na fórmula da área da superfície, temos: S = 2π * ∫[a,b] f(x) √(1 + [f'(x)]²) dx = 2π * x * C Simplificando, temos: S = 2π * x * 2π * √(A/π) = 4π² * x * √(A/π) Substituindo a fórmula do centro de massa novamente, temos: S = 4π² * x * √(A/π) = 4π² * √(x² + [f(x)]²) * √(A/π) E como queríamos demonstrar, temos: S = A * C Que é a fórmula que relaciona a área da superfície gerada pela rotação em torno do eixo x do gráfico de f com o comprimento do gráfico de f e o comprimento da circunferência descrita pelo centro de massa do gráfico de f.