Prove que quaisquer que sejam a e b, a < b, arctg b − arctg a < b − a.

Para provar que quaisquer que sejam a e b, a < b, arctg b − arctg a < b − a, podemos utilizar o Teorema do Valor Médio para Funções de uma Variável. Seja f(x) = arctg(x). Como f'(x) = 1/(1+x^2) > 0 para todo x, a função f(x) é crescente em todo o seu domínio. Assim, podemos aplicar o Teorema do Valor Médio para f(x) no intervalo [a, b], obtendo: arctg(b) - arctg(a) = f(b) - f(a) = f'(c)(b - a) para algum c entre a e b. Como f'(c) = 1/(1+c^2) < 1 para todo c, temos: arctg(b) - arctg(a) < b - a Portanto, a desigualdade arctg b − arctg a < b − a é verdadeira para quaisquer que sejam a e b, a < b.