Sejam a < b dois reais dados. Prove que quaisquer que sejam a e b, a < b, arctg b − arctg a < b − a.

Para provar que arctg b - arctg a < b - a, podemos começar derivando ambos os lados da desigualdade. Derivando arctg x, temos: (d/dx) arctg x = 1/(1+x^2) Então, derivando ambos os lados da desigualdade, temos: (d/dx) (arctg b - arctg a) < (d/dx) (b - a) 1/(1+b^2) - 1/(1+a^2) < 1 Multiplicando ambos os lados por (1+a^2)(1+b^2), temos: (1+a^2) - (1+b^2) < (1+a^2)(1+b^2) Simplificando, temos: a^2 - b^2 < a^2b^2 Como a < b, podemos substituir b por a + c, onde c é um número positivo. Então, temos: a^2 - (a+c)^2 < a^2(a+c)^2 Simplificando, temos: -2ac - c^2 < a^2c^2 + 2a^3c + a^4 Dividindo ambos os lados por c e multiplicando por -1, temos: 2a + c > (a^2)c + 2a^3 + a^4/c Como c é positivo, podemos substituir c por (b-a), então temos: 2a + (b-a) > (a^2)(b-a) + 2a^3 + a^4/(b-a) Simplificando, temos: b - a > a^2 + a(b-a) + a^4/(b-a) Multiplicando ambos os lados por (b-a), temos: (b-a)^2 > a(b-a)^2 + a^4 Simplificando, temos: b^2 - 2ab + a^2 > a(b^2 - 2ab + a^2) + a^4 Simplificando novamente, temos: b^2 - 2ab + a^2 > ab^2 - 2a^2b + a^3 + a^4 Simplificando mais uma vez, temos: b^2 - 3ab + a^2 > a^3 + a^4 - b^2 Como a < b, temos que a^2 < b^2, então podemos substituir b^2 por a^2 + c, onde c é um número positivo. Então, temos: a^2 - 3a(a+c) + a^2 > a^3 + a^4 - (a^2 + c) Simplificando, temos: -a^2 - 2ac > a^3 + a^4 - c Como c é positivo, podemos dividir ambos os lados por c e multiplicar por -1, então temos: 2a/c + a^2/c^2 > a^3/c + a^4/c^2 - 1 Como a e b são números reais, podemos escolher c de forma que a^2 + c = b^2, então temos: 2a/c + b > a^3/c + b^3/c Simplificando, temos: 2a + bc > a^3 + b^3 Como a < b, temos que a^3 < b^3, então podemos substituir b^3 por a^3 + c, onde c é um número positivo. Então, temos: 2a + a^3 + c > a^3 + a^3 + c Simplificando, temos: 2a > a^3 Como a é positivo, podemos dividir ambos os lados por a^3, então temos: 2/a^2 > 1 Como isso é verdadeiro para todos os valores positivos de a, temos que arctg b - arctg a < b - a para quaisquer que sejam a e b, a < b.