Seja f : ℝ → ℝ e suponha que f′(x) ≠ 1 para todo x. Prove que f admitirá no máximo um ponto fixo.

Para provar que f admitirá no máximo um ponto fixo, podemos usar o Teorema do Valor Intermediário de Rolle. Suponha que f tenha dois pontos fixos distintos, a e b, ou seja, f(a) = a e f(b) = b. Considere a função g(x) = f(x) - x. Temos que g(a) = f(a) - a = 0 e g(b) = f(b) - b = 0. Pela hipótese do enunciado, f'(x) ≠ 1 para todo x, o que implica que g'(x) = f'(x) - 1 ≠ 0 para todo x. Assim, g(x) é contínua em [a, b] e diferenciável em (a, b), e g(a) = g(b) = 0. Pelo Teorema de Rolle, existe um ponto c em (a, b) tal que g'(c) = 0. Mas g'(x) = f'(x) - 1 ≠ 0 para todo x, o que implica que c não pode existir, chegando a uma contradição. Portanto, f admite no máximo um ponto fixo.