A MUDANÇA DE VARIÁVEL A mudança de variável é recomendável sempre que o integrando for da forma Q (sen x, cos x), em que Q (u, v) é um quociente en...

A mudança de variável é uma técnica utilizada para facilitar a integração de funções. É recomendável utilizá-la sempre que o integrando for da forma Q(sen x, cos x), em que Q(u, v) é um quociente entre dois polinômios nas variáveis u e v. Se o integrando for da forma Q(sen αx, cos αx), α constante, sugere-se a mudança. É importante lembrar das identidades trigonométricas sen²x + cos²x = 1 e tan²x + 1 = sec²x. No exemplo 1, é necessário calcular a integral de (sen x + cos x)² dx. Utilizando a identidade trigonométrica sen²x + cos²x = 1, podemos reescrever a integral como: (sen x + cos x)² dx = (sen²x + 2sen x cos x + cos²x) dx = (1 + sen 2x) dx Fazendo a mudança de variável u = 2x, temos: ∫(1 + sen 2x) dx = (1/2) ∫(1 + sen u) du = (u/2 - (cos u)/2) + C Substituindo u = 2x, temos: (2x/2 - (cos 2x)/2) + C = x - (cos 2x)/2 + C Portanto, a integral de (sen x + cos x)² dx é x - (cos 2x)/2 + C.