EXEMPLO 8. Calcule a área da interseção das regiões limitadas pelas curvas (coordenadas polares) ρ = 3 cos θ e ρ = 1 + cos θ.

Para calcular a área da interseção das regiões limitadas pelas curvas ρ = 3 cos θ e ρ = 1 + cos θ, podemos utilizar a fórmula da área em coordenadas polares: A = 1/2 ∫[a,b] (f(θ))^2 - (g(θ))^2 dθ Onde f(θ) e g(θ) são as funções que definem as curvas, a e b são os limites de integração e dθ é o elemento de comprimento em coordenadas polares. Nesse caso, temos: f(θ) = 3 cos θ g(θ) = 1 + cos θ Para encontrar os limites de integração, precisamos igualar as duas funções: 3 cos θ = 1 + cos θ 2 cos θ = 1 cos θ = 1/2 θ = π/3 e θ = 5π/3 Assim, a área da interseção das regiões é: A = 1/2 ∫[π/3,5π/3] (3 cos θ)^2 - (1 + cos θ)^2 dθ A = 1/2 ∫[π/3,5π/3] 8 cos^2 θ - 2 cos θ - 1 dθ A = 1/2 [8/3 sin 2θ - 2 sin θ - θ]π/3 5π/3 A = 7/3 - (5π/6)√3 Portanto, a área da interseção das regiões é aproximadamente 0,845 unidades de área.