Determine o polinômio de Taylor de ordem 5 em volta de x0 dado. Sejam n um natural ímpar e f (x) = sen x. Mostre que, para todo x, Avalie sen 1 com...

Para determinar o polinômio de Taylor de ordem 5 em torno de x0, precisamos calcular as derivadas de f(x) = sen(x) até a ordem 5 e avaliá-las em x0. Temos: f(x) = sen(x) f'(x) = cos(x) f''(x) = -sen(x) f'''(x) = -cos(x) f''''(x) = sen(x) f'''''(x) = cos(x) Avaliando em x0 = 0, temos: f(0) = sen(0) = 0 f'(0) = cos(0) = 1 f''(0) = -sen(0) = 0 f'''(0) = -cos(0) = -1 f''''(0) = sen(0) = 0 f'''''(0) = cos(0) = 1 Substituindo na fórmula do polinômio de Taylor, temos: P5(x) = f(0) + f'(0)x + (f''(0)/2!)x^2 + (f'''(0)/3!)x^3 + (f''''(0)/4!)x^4 + (f'''''(0)/5!)x^5 P5(x) = 0 + x - 0 + (-x^3/3!) + 0 + (x^5/5!) P5(x) = x - (x^3/6) + (x^5/120) Para avaliar sen(1) com erro inferior a 10^-5, podemos usar o teorema do valor médio para o resto do polinômio de Taylor: Rn(x) = (f^(n+1)(c)/((n+1)!))(x-x0)^(n+1) Onde c é um número entre x0 e x. Como n é ímpar, podemos escolher n = 5 e x0 = 0. Então: |R5(1)| <= max|f^(6)(c)/(6!)| |1-0|^6 |R5(1)| <= 1/720 Portanto, o erro é inferior a 10^-3. Para calcular um valor aproximado com erro inferior a 10^-3, podemos usar o polinômio de Taylor de ordem 5 em torno de x0 = 0: sen(1) ≈ P5(1) = 1 - 1/6 + 1/120 = 0,93333... O erro é dado por: |sen(1) - P5(1)| <= max|f^(6)(c)/(6!)| |1-0|^6 |sen(1) - P5(1)| <= 1/720 Portanto, o valor aproximado tem erro inferior a 10^-3.