Prove que se A for não vazio e limitado inferiormente, então A admite ínfimo.

Para provar que se A for não vazio e limitado inferiormente, então A admite ínfimo, podemos utilizar o axioma da completude dos números reais. Se A é limitado inferiormente, então existe um número real m tal que m é um limite inferior de A, ou seja, m ≤ a para todo a em A. Como A é não vazio, existe pelo menos um elemento a1 em A. Considere o conjunto B = {x ∈ R | x ≥ m}. Então, B é não vazio e limitado inferiormente por m. Pelo axioma da completude, B admite ínfimo, seja ele denotado por b. Agora, vamos mostrar que b é o ínfimo de A. Como b é o ínfimo de B, temos que b ≤ x para todo x em B. Em particular, b ≤ a1, pois a1 pertence a B. Por outro lado, como m é um limite inferior de A, temos que m ≤ a para todo a em A. Em particular, m ≤ b, pois b pertence a B. Assim, temos que m ≤ b ≤ a para todo a em A. Portanto, b é um limite inferior de A. Resta mostrar que b é o maior limite inferior de A, ou seja, se c é um limite inferior de A, então c ≤ b. Suponha que c é um limite inferior de A. Então, c ≤ a para todo a em A. Como m é um limite inferior de A, temos que m ≤ a para todo a em A. Assim, temos que c ≤ a ≤ b para todo a em A. Portanto, c é um limite inferior de B. Mas b é o ínfimo de B, então b ≤ c. Concluímos que b é o ínfimo de A.