Determine o comprimento do arco da curva dada por no intervalo [0,4] Determine o comprimento do arco da curva dada por no intervalo [0,3]. Determ...

Para determinar o comprimento do arco da curva dada por y = f(x) no intervalo [a,b], podemos utilizar a fórmula: L = ∫[a,b] √[1 + (f'(x))^2] dx Para a curva dada por y = x^2 no intervalo [0,4], temos: f(x) = x^2 f'(x) = 2x Substituindo na fórmula, temos: L = ∫[0,4] √[1 + (2x)^2] dx L = ∫[0,4] √[1 + 4x^2] dx Essa integral é resolvida por substituição trigonométrica, fazendo x = (1/2)tan(t): L = ∫[0,arctan(8)] sec(t) dt L = ln|sec(t) + tan(t)|[0,arctan(8)] L = ln(√65 + 8) Portanto, o comprimento do arco da curva é ln(√65 + 8). Para a curva dada por y = x^2 no intervalo [0,3], temos: f(x) = x^2 f'(x) = 2x Substituindo na fórmula, temos: L = ∫[0,3] √[1 + (2x)^2] dx L = ∫[0,3] √[1 + 4x^2] dx Essa integral é resolvida por substituição trigonométrica, fazendo x = (1/2)tan(t): L = ∫[0,arctan(6)] sec(t) dt L = ln|sec(t) + tan(t)|[0,arctan(6)] L = ln(√37 + 6) Portanto, o comprimento do arco da curva é ln(√37 + 6). Para determinar a área da região à direita de x = 1, delimitada pela curva y = x^2 e o eixo x, podemos calcular a integral definida: A = ∫[1,∞] x^2 dx A = lim t->∞ ∫[1,t] x^2 dx A = lim t->∞ [(1/3)t^3 - (1/3)] A = +∞ Portanto, a área da região à direita de x = 1 é infinita. A condição para que as integrais impróprias sejam consideradas convergentes é que os limites associados devem ser finitos.