Cálculo Avançado

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CÁLCULO 
AVANÇADO
PROF. THIAGO MIGUEL RODA
FACULDADE CATÓLICA PAULISTA
Prof. Thiago Miguel Roda
CÁLCULO 
AVANÇADO
Marília/SP
2023
“A Faculdade Católica Paulista tem por missão exercer uma 
ação integrada de suas atividades educacionais, visando à 
geração, sistematização e disseminação do conhecimento, 
para formar profissionais empreendedores que promovam 
a transformação e o desenvolvimento social, econômico e 
cultural da comunidade em que está inserida.
Missão da Faculdade Católica Paulista
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Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida por qualquer meio ou forma 
sem autorização. Todos os gráficos, tabelas e elementos são creditados à autoria, 
salvo quando indicada a referência, sendo de inteira responsabilidade da autoria a 
emissão de conceitos.
Diretor Geral | Valdir Carrenho Junior
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SUMÁRIO
CAPÍTULO 01
CAPÍTULO 02
CAPÍTULO 03
CAPÍTULO 04
CAPÍTULO 05
CAPÍTULO 06
CAPÍTULO 07
CAPÍTULO 08
CAPÍTULO 09
CAPÍTULO 10
CAPÍTULO 11
CAPÍTULO 12
CAPÍTULO 13
CAPÍTULO 14
CAPÍTULO 15
07
16
26
35
43
54
65
75
84
94
104
111
121
129
139
INTRODUÇÃO A INTEGRAL
INTEGRAL INDEFINIDA
MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO I
MÉTODO DE INTEGRAÇÃO II
FRAÇÕES PARCIAIS
INTEGRAL DEFINIDA
APLICAÇÃO DAS INTEGRAIS NO CÁLCULO DE 
ÁREAS I
APLICAÇÃO DAS INTEGRAIS NO CÁLCULO DE 
ÁREAS II
APLICAÇÕES DAS INTEGRAIS NO CÁLCULO 
DE VOLUMES DE SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO I
APLICAÇÕES DAS INTEGRAIS NO CÁLCULO 
DE VOLUMES DE SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO II
APLICAÇÃO DA INTEGRAL NO CÁLCULO DE 
COMPRIMENTO DE ARCO DE UMA CURVA 
PLANA
INTEGRAIS IMPRÓPRIAS
INTEGRAIS DUPLAS I
INTEGRAIS DUPLAS II
INTEGRAIS TRIPLAS
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INTRODUÇÃO
Saudamos o leitor nesta exploração abrangente e meticulosa do campo matemático 
das integrais. Este livro se propõe a desvendar, de maneira formal e rigorosa, as 
complexidades inerentes ao cálculo integral, uma disciplina que serve como alicerce 
para uma miríade de aplicações teóricas e práticas.
Iniciaremos nossa jornada com uma análise das integrais imediatas, proporcionando 
uma compreensão inicial das operações elementares e estabelecendo os princípios 
basilares que nortearão nosso percurso. Os métodos de integração serão discutidos 
em detalhes, delineando estratégias sistemáticas para abordar diversas classes de 
funções, desde as mais simples até aquelas que desafiam a intuição.
Delinearemos claramente as diferenças entre integrais definidas e indefinidas, 
destacando a importância fundamental desses conceitos na análise matemática. 
Aprofundaremos nossa exploração ao revelar as aplicações específicas das integrais 
definidas, concentrando-nos na habilidade de calcular áreas sob curvas e volumes 
de sólidos, proporcionando ao leitor ferramentas cruciais para enfrentar problemas 
práticos e abstratos.
As integrais impróprias serão abordadas com rigor matemático, apresentando as 
condições necessárias para sua convergência e a interpretação precisa de casos 
em que a convergência é problemática. Este livro também se propõe a mergulhar 
nas intricadas águas das integrais duplas e triplas, levando a análise matemática 
para além do plano bidimensional e expandindo sua aplicação em áreas como física, 
engenharia e estatística.
Ao longo dessa jornada, cada tópico será apresentado de maneira sistemática e 
formal, fornecendo uma base sólida para a compreensão profunda dos conceitos e 
técnicas envolvidos. Esperamos que este livro sirva como um guia indispensável para 
estudantes, professores e entusiastas da matemática, capacitando-os a dominar o 
cálculo integral e suas aplicações multifacetadas.
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CAPÍTULO 1
INTRODUÇÃO A INTEGRAL
A taxa de variação, expressa pela derivada, figura como um dos pilares fundamentais 
no âmbito do Cálculo. Em paralelo, a noção de Integral também se destaca, 
desempenhando um papel igualmente crucial. Existe uma íntima interligação entre 
esses dois conceitos. A ação inversa da derivação é conhecida como antiderivação 
ou integração indefinida.
Newton e Leibniz, juntamente com seus seguidores, se viram envolvidos em uma 
disputa acalorada quanto à autoria original da invenção do Cálculo, o que resultou 
em considerável desgaste pessoal para ambos. As abordagens adotadas por eles em 
relação a esse tema se mostraram distintas.
Newton introduz seu Método das Fluxões como um instrumento que lhe concede 
a capacidade de aprofundar sua compreensão dos fenômenos físicos. Em outras 
palavras, oferece uma perspectiva cinemática do Cálculo, onde a derivada é interpretada 
como uma taxa de variação. Nesse contexto, Newton considerava x e y como variáveis 
em função do tempo. Por outro lado, Leibniz concebia x e y como variáveis em uma 
sucessão de valores infinitesimalmente próximos. Ele trouxe à tona os conceitos de 
dx e dy para representar as discrepâncias entre esses valores na sequência.
Newton abordava a integração como o desafio de determinar os valores de x e y em 
uma dada fluxão, ou seja, identificar o deslocamento correspondente a uma determinada 
velocidade. Dessa forma, para ele, a integração era intrinsecamente o processo inverso 
da diferenciação. Por sua vez, Leibniz concebia a integração como uma espécie de soma, 
seguindo a tradição estabelecida anteriormente por Arquimedes, Cavalieri e Roberval. 
Leibniz demonstrou perspicácia ao introduzir os ‘infinitésimos’ dx e dy, em contraposição 
ao emprego por Newton de x’ e y’, que representavam as velocidades. Além disso, Leibniz 
adotou o termo ‘mônada’ para descrever algo tão elementar que não possui partes distintas. 
Nenhum dos dois considerava o que atualmente denominamos de funções, já que esse 
conceito apenas emergiria muitos séculos depois. No entanto, é inegável que ambos 
concebiam seus raciocínios em termos de representações gráficas. De qualquer maneira, 
ambos enfrentavam o desafio do infinito, mais precisamente, o infinitesimal.
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Embora Newton tenha formulado sua teoria inicialmente, foi Leibniz quem recebeu o 
crédito por publicar sua versão em 1684, ao introduzir o termo “calculus summatorius” 
e, assim, disseminar suas ideias. Leibniz atribuía grande importância à notação, e nisso 
estava completamente correto. Foi ele quem introduziu os símbolos matemáticos ‘d’ e ‘f’, 
estabelecendo, por volta de 1675, a notação exatamente como a utilizamos hoje em dia.
1.1 No âmbito histórico
1.1.1 Antiguidade
Na Antiguidade, matemáticos gregos como Eudoxo de Cnido (c. 408-355 a.C.) e 
Arquimedes (c. 287-212 a.C.) contribuíram para os primeiros conceitos de integração. 
Arquimedes, por exemplo, utilizou o método da exaustão para calcular áreas de 
figuras geométricas. Este método consistia em inscrever e circunscrever a figura com 
polígonos e calcular as áreas destes, aproximando assim a área da figura desejada. 
Como Arquimedes afirmou:
“Como o retângulo AD está incluído entre dois paralelogramos, ele é menor que a 
soma dos dois paralelogramos, mas maior que o menor deles.”
Esta abordagem, embora intuitiva, foi um passo inicial crucial para o desenvolvimento 
dos métodos de integração.
1.1.2 Séculos XVII e XVIII:
No século XVII, Isaac Barrow foi um pioneiro ao estudar a quadratura de curvas. Ele 
desenvolveu métodos para encontrar áreas sob curvas e arcos de parábolas, utilizando 
uma forma primitiva de integração. A influência de Barrow sobre seu aluno Isaac 
Newton (1643-1727) foi inegável. Newton desenvolveu os fundamentos do cálculo, 
que incluíam a teoria da integral. Ele introduziu o conceito de fluxão (precursora da 
derivada) e o processo inverso, a integração. Em sua obra “Philosophiæ Naturalis 
Principia Mathematica”, Newton afirmou:
“Asoma de qualquer quantidade infinitamente pequena é, por definição, a soma da 
soma de todas as quantidades infinitamente pequenas da mesma natureza.”
Essa abordagem mais sistemática e abstrata foi um marco crucial na evolução da 
teoria integral.
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1.1.3 Séculos XVIII e XIX:
No século XVIII, os matemáticos Leonhard Euler e Joseph-Louis Lagrange (1736-
1813) aprimoraram os métodos de integração, introduzindo notações mais familiares, 
como o símbolo de integral ∫. Euler expandiu o escopo da teoria integral, abordando 
integrais definidas e indefinidas de funções mais complexas.
No século XIX, Augustin-Louis Cauchy e Karl Weierstrass contribuíram de forma 
significativa. Cauchy formalizou os conceitos fundamentais da análise matemática, 
incluindo os fundamentos da teoria da medida e integração. Weierstrass definiu de 
maneira rigorosa o conceito de continuidade e convergência, estabelecendo bases 
sólidas para a teoria integral moderna.
1.1.4 Século XX e Além:
No século XX, os trabalhos de matemáticos como Henri Lebesgue (1875-1941) 
levaram ao desenvolvimento da teoria da medida e da integral de Lebesgue, uma 
generalização poderosa da integral de Riemann. Esta teoria permitiu uma abordagem 
mais flexível e abrangente para a integração de funções mais complexas.
Hoje, a teoria integral continua a ser uma parte essencial da matemática, com 
aplicações em física, engenharia, estatística, economia e muitos outros campos. A 
integração é uma das ferramentas matemáticas fundamentais para a compreensão 
e modelagem de fenômenos contínuos.
1.2 Onde usamos?
1.2.1 Na engenharia
O estudo das integrais desempenha um papel fundamental em várias disciplinas da 
engenharia, permitindo a modelagem e resolução de uma ampla gama de problemas 
práticos. Aqui estão algumas áreas da engenharia onde as integrais são aplicadas:
1.2.1.1 Engenharia Mecânica:
Cinemática e Dinâmica de Máquinas: Integrais são utilizadas para determinar 
velocidades, acelerações e deslocamentos de componentes mecânicos em movimento. 
Também são empregadas na análise de forças e momentos resultantes.
Termodinâmica: Integrais são aplicadas para determinar a variação de propriedades 
termodinâmicas em processos, como o trabalho realizado em expansões ou compressões.
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Vibrações Mecânicas: Integrais são usadas para analisar o comportamento vibratório 
de sistemas mecânicos, incluindo frequências naturais e amplitudes de vibração.
1.2.1.2 Engenharia Elétrica:
Circuitos Elétricos: As integrais são usadas para calcular quantidades como corrente, 
carga e energia em circuitos elétricos, especialmente em situações transitórias.
Sistemas de Controle: As integrais são fundamentais para o projeto e análise de 
sistemas de controle, incluindo a estabilidade e desempenho do sistema.
1.2.1.3 Engenharia Civil:
Estruturas e Mecânica dos Materiais: As integrais são empregadas para determinar 
cargas, momentos, deslocamentos e deformações em estruturas, como vigas e pilares, 
sob várias condições de carregamento.
Hidráulica e Mecânica dos Fluidos: Integrais são usadas para calcular a vazão, 
pressão e força exercida por fluidos em sistemas hidráulicos, canais e tubulações.
1.2.1.4 Engenharia Aeroespacial:
Aerodinâmica: Integrais são utilizadas para calcular propriedades como a sustentação 
e arrasto sobre uma asa ou superfície aerodinâmica.
Dinâmica de Voo: Integrais são aplicadas para determinar trajetórias de voo, 
velocidades e variações de altitude.
1.2.1.5 Engenharia de Controle e Automação:
Sistemas Dinâmicos: Integrais são cruciais para analisar e controlar sistemas 
dinâmicos, como robôs e processos industriais.
Identificação de Sistemas: Integrais são utilizadas em técnicas de identificação 
de sistemas para estimar parâmetros de modelos matemáticos a partir de dados 
experimentais.
1.2.1.6 Engenharia de Energia:
Transferência de Calor e Massa: Integrais são empregadas na análise de processos 
de transferência de energia térmica e massa em sistemas de energia, como trocadores 
de calor e reatores químicos.
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1.2.1.7 Engenharia de Computação:
Processamento de Sinais: Integrais são utilizadas para análise de sinais, incluindo 
a transformada de Fourier e integrais de convolução.
1.3 Método de Reimann
O renomado matemático Riemann desenvolveu um procedimento para calcular 
áreas sob curvas. Esse método emprega exclusivamente retângulos para preencher 
os espaços, onde a altura é determinada pelo valor da função em um ponto específico, 
enquanto o comprimento da base pode variar. Quanto menor for o comprimento da base 
e, consequentemente, maior o número de retângulos, mais precisa será a estimativa 
da área obtida. Esta abordagem é facilmente implementável de forma computacional 
e serve como a base para o funcionamento de importantes softwares que você utiliza 
no seu cotidiano. 
O procedimento possui variações sutis, dependendo do ponto escolhido como a 
altura do retângulo. Basicamente, os retângulos podem situar-se acima da curva, 
resultando em uma estimativa superior da área (pois o resultado será maior que o 
valor real), ou podem situar-se abaixo da curva, resultando em uma estimativa inferior. 
Uma abordagem adicional e inteligente é empregar o valor da função no ponto médio 
do intervalo, proporcionando uma estimativa mais precisa. Os dois primeiros cenários 
são ilustrados na figura abaixo.
O valor real da área está sempre situado entre Ssup e Sinf. Portanto, o que Riemann 
fez foi aplicar o conceito de limite, reduzindo o comprimento da base dos retângulos até 
que este tendesse a zero, e consequentemente, aumentando o número de retângulos 
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indefinidamente. Nesse caso, tanto Ssup quanto Sinf irão convergir para um mesmo 
valor, que é a medida exata da área.
Vamos fazer uma aproximação para a área entre o gráfico da função f(x) = x² e o 
eixo x, limitado pelo eixo y e pela reta vertical x=1?
Podemos implementar o método de Riemann utilizaremos as estimativas superior 
e inferior, para que haja compreensão que os resultados obtidos são diferentes.
Para a estimativa, dividiremos o intervalo em quatro partes iguais.
Portanto, utilizando a fórmula de base vezes altura para cada retângulo e somando-
as, temos:
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Assim, não é difícil verificar que nossa área A desejada está entre esses valores, 
isto é,
1.4 Integração
Com base em seu método, Riemann conseguiu formalizar o conceito de integração. 
Integrar uma função em um intervalo determinado é realizar uma operação matemática 
que nos fornece, invariavelmente, a área entre o gráfico da função e o eixo x no plano 
cartesiano. O resultado da integração equivale ao limite da soma de Riemann, no qual 
o comprimento da base dos retângulos tende a zero e, por conseguinte, o número de 
retângulos aumenta até o infinito.
Dizemos que uma função f é Riemann integrável quando
e nesse caso definimos a integral definida de f no intervalo [a,b] por:
A operação de integração é representada por ∫ f(x) dx. Observamos que a função 
f(x) é inserida entre o símbolo ∫ e o símbolo dx. Quando desejamos calcular a área 
entre dois pontos particulares a e b ao longo do eixo x, que são referidos como “limites 
de integração”, usamos o mesmo símbolo com uma pequena adaptação que nos 
indica quais são esses limites. Veja a representação desta função e destes pontos 
de intervalo na figura a seguir:
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O símbolo da integral (∫) representa a soma de retângulos ao longo do intervalo 
que se estende de a a b, com a função f determinando a altura dos retângulos e dx 
representando o comprimento da base, que étomado como infinitesimalmente pequeno.
Vamos exemplificar
Para estimar a quantidade de tinta necessária para pintar uma chapa metálica, 
podemos empregar a integral de Riemann. É sabido que quanto maior o número de 
retângulos, mais precisa será a estimativa da área sob o gráfico.
Você realizou a medição da chapa metálica usando uma trena e plotou um gráfico 
(Figura abaixo) com as medidas encontradas ao longo das linhas pontilhadas. Ambos 
os eixos estão em unidades de metro. Em seguida, iniciou o procedimento para calcular 
a área da chapa dividindo a curva em retângulos (A = base x altura). Inicialmente, a 
chapa metálica foi dividida em três retângulos com bases idênticas, cada um com 
uma base de um metro. Usando sua trena, mediu a distância da base até a curva e 
repetiu esse procedimento para os três retângulos, calculando suas respectivas áreas. 
Ao somá-las, obteve o valor de 6,25 m².
Você percebeu que o cálculo inicial estava bastante impreciso e, para melhorar a 
estimativa, optou por aumentar o número de retângulos. Inicialmente, dividiu a base 
em sete partes, o que resultou em sete retângulos. Ao realizar o mesmo procedimento, 
obteve uma área de 5,37 metros quadrados (Figura a). Ainda insatisfeito com a precisão, 
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você decidiu dividir a base em 20 partes (Figura b). Ao executar o cálculo novamente, 
encontrou uma área de 4,83 metros quadrados. Em sua última tentativa de aprimorar a 
precisão, dividiu a chapa em 40 retângulos, o que resultou em uma área de 4,67 metros 
quadrados (Figura c). Você ficou satisfeito com esse resultado, pois não percebeu 
mais discrepâncias significativas em comparação com o resultado anterior, e assim 
prosseguiu para o cálculo da quantidade de tinta necessária.
Para finalizar, é necessário calcular a quantidade aproximada de tinta necessária. 
Para isso, vamos considerar um rendimento de 7,16 metros quadrados por litro (7,16 
m²/L). Portanto, temos:
• Para a primeira estimativa de área (6,25 m²):
A quantidade de tinta necessária será: 6,25 m² ÷ 7,16 m²/L ≈ 0,87 litros.
• Para a segunda estimativa de área (5,37 m²):
A quantidade de tinta necessária será: 5,37 m² ÷ 7,16 m²/L ≈ 0,75 litros.
• Para a terceira estimativa de área (4,83 m²):
A quantidade de tinta necessária será: 4,83 m² ÷ 7,16 m²/L ≈ 0,67 litros.
• Para a última estimativa de área (4,67 m²):
A quantidade de tinta necessária será: 4,67 m² ÷ 7,16 m²/L ≈ 0,65 litros.
Logo, a quantidade aproximada de tinta utilizada para pintar uma chapa metálica 
desse modelo é de 0,65 L.
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CAPÍTULO 2
INTEGRAL INDEFINIDA
O início da compreensão de uma ferramenta matemática crucial, a integral, começa 
com o estudo das integrais indefinidas. Neste contexto, será apresentada a noção de 
integral, destacando sua conexão intrínseca com a derivada.
Quando a função F(x) se configura como uma primitiva da função f(x), a expressão 
F(x) + C recebe o nome de integral indefinida de f(x), e é simbolizada por: 
Onde:
 - é sinal da integração
 – é a função integrando
 – é a diferencial que serve para identificar a variação de integração.
 – é a constante de integração
Anote aí: 
• Lê – se: Integral Indefinida de f(x) em relação a x ou integral de f(x) em relação 
a x.
• O processo que permite calcular a integral indefinida de uma função é denominado 
integração.
Ainda falando da definição da integral indefinida temos que:
i. 
ii. representa o conjunto de todas as primitivas da função integrando.
iii. 
Alguns exemplos para melhor compreensão:
1) Se 
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2) Se 
Regras básicas de integração
Vamos discutir sobre as regras básicas para o cálculo de integrais.
2.1 Integral de função Potência
Com base na derivada da função potência, podemos afirmar:
Exemplo: 
• 
• 
2.2 Regra da multiplicação por uma constante
Seja k uma constante. Então, temos a seguinte regra da multiplicação por constante.
Exemplo:
• 
Note que fizemos um abuso de linguagem ao assumir 2C = C. Isso pode ser feito, 
pois C denota uma constante indeterminada e, multiplicá-la por dois continua sendo 
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indeterminada e constante. Portanto, no decorrer do assunto, vamos fazer essa 
simplificação várias vezes.
• 
2.3 Regra da soma ou subtração
Se f e g são funções integráveis, então vale a seguinte regra.
Exemplo
• 
• 
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• 
Integral de x-1
Lembrando que, para x > 0, temos:
Agora, pela regra da cadeia, para x < 0, temos:
Ou seja, temos que:
Podemos concluir então que a integral de x-1 é:
2.4 Integral da função exponencial natural
Da derivada da função exponencial natural, temos:
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Exemplo: 
• 
2.5 Integrais de funções trigonométricas
Lembrando que:
Temos que a integral da função seno é 
Exemplo:
• 
Lembrando também que:
Então, temos que:
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Exemplo:
• 
2.5.1 Integral da tangente
2.5.2 Integral da secante
2.5.3 Integral da Cossecante
2.5.4 Integral da cotangente
2.5.5 Outras integrais de funções trigonométricas
2.5.6 Integrais que resultam no ArcoTangente e ArcoSeno
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Em resumo podemos deixar uma tabela com os principais tipos de integração que 
vimos até aqui
2.6 Tabela das Integrais Imediatas
Integrais Simples
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Outras integrais
Integrais Trigonométricas
Vamos praticar?
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Calcule a integral
Solução:
A teoria das integrais tem aplicações surpreendentes em áreas que vão muito 
além da matemática pura. Por exemplo, na física, as integrais são fundamentais para 
calcular quantidades como o trabalho realizado por uma força, a área sob uma curva de 
velocidade-tempo para determinar a distância percorrida e até mesmo na determinação 
de centro de massa de objetos complexos.
Além disso, na economia e nas finanças, as integrais são usadas para calcular 
áreas sob curvas de demanda e oferta para determinar o excedente do consumidor 
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e do produtor. Elas também são essenciais na teoria do cálculo de variações, que é 
um ramo importante da matemática aplicada amplamente usado em otimização e 
controle ótimo.
Portanto, as integrais desempenham um papel crucial em diversas disciplinas, 
contribuindo para a compreensão e solução de uma ampla variedade de problemas 
práticos do mundo real.
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CAPÍTULO 3
MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO I
O propósito dos métodos de integração é converter funções de maior complexidade 
em formas mais simples, facilitando a aplicação das regras fundamentais que foram 
vistas no capítulo anterior.
3.1 Integração por Substituição:
O método de substituição de variável se baseia em substituir uma integral 
desconhecida em outra mais simples e diretamente solucionável. Isso é alcançado 
ao substituir a variável independente por uma nova variável.
Os casos típicos dessa integração são:
• Raiz de polinômios;
• Polinômio elevado a um expoente alto;
• ;
• Fração com polinômios;
Para esse método devemos recorrer ao conhecimento de derivadas.
Exemplo:
Inicialmente escolhemos uma das funções presentes na integral. Neste caso foi escolhido 
x2+1 e dissemos que uma variável qualquer u assume os valores desta função. Além 
disso, derivamos esta função para obter a dependência dessa com as variações em dx.
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Com os valores obtidos anteriormente podemos substituir na integral desejada.
A integral obtida é uma integral direta, que pode facilmente ser resolvida ao olhar 
para a tabela de integrais. Resultando em:
Resolvida a integral, basta substituir todos os lugares com a variável u, pela função 
que foi atribuída a ela, neste caso x2+1. Resultando em:
Aqui vamos explanar outros exemplos apresentando as resoluções
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Uma curiosidade interessante sobre o método da substituição é que ele é uma 
aplicação direta do teorema fundamental do cálculo. Esse teorema estabelece uma 
relação entre diferenciação e integração, e o método da substituição é uma das maneiras 
de explorar essa relação.
Além disso, o método da substituição pode ser visto como uma forma de “reverter” 
a regra da cadeia, que é um conceito fundamental em diferenciação. Enquanto a 
regra da cadeia nos ajuda a calcular derivadas de funções compostas, o método da 
substituição nos auxilia a calcular integrais de funções compostas.
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CAPÍTULO 4
MÉTODO DE INTEGRAÇÃO II
4.1 Integração por partes
O método da integração por partes é uma técnica utilizada para calcular integrais 
de produtos de funções. A fórmula da integração por partes é dada por:
Aqui, u e v são funções diferenciáveis de x, e du e dv são suas respectivas derivadas. 
A ideia é escolher u e dv de modo que a diferenciação de u simplifique o suficiente, 
e a integração de dv também, para que o lado direito da equação se torne mais fácil 
de integrar.
O passo a passo é o seguinte:
1. Escolha de u e dv: Divida a integral em duas partes, escolhendo u e dv de modo 
que a diferenciação de u e a integração de dv sejam mais simples.
2. Calcule du e v: Encontre as derivadas de u e a integral de dv em relação a x.
3. Aplique a fórmula: Use a fórmula da integração por partes para reescrever a 
integral original em termos de u, v, du e dv.
4. Simplifique e integre: Agora você terá uma nova integral que, com sorte, será 
mais simples de resolver.
5. Se necessário, repita o processo: Dependendo da complexidade da nova integral, 
pode ser necessário aplicar a integração por partes novamente.
Exemplo: 
Calcular a integral de:
1. Escolha de u e de dv: aqui podemos escolher u = x e dv = senx dx
2. Calcule du e v: du = 1 dx e a integral de de dv é v = - cosx + C.
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3. Aplicando a fórmula temos: 
4. Simplifique e integre: 
Como ,
Temos:
.
Lembre-se de que, ao usar o método da integração por partes, a escolha de u e dv é 
crucial. Às vezes, pode ser necessário repetir o processo várias vezes para simplificar 
a integral o suficiente para poder integrá-la.
Agora vamos descrever vários exemplos usando o método da integração por partes
a) 
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b) 
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CAPÍTULO 5
FRAÇÕES PARCIAIS
Outro método amplamente empregado na solução de integrais é a decomposição em 
frações parciais. De maneira simplificada, essa abordagem envolve dividir uma fração 
em duas ou mais frações, denominadas frações parciais. Essa técnica é comumente 
empregada na integração de funções racionais.
Se o denominador puder ser representado como o produto de dois coeficientes 
lineares (sendo o grau do denominador estritamente inferior ao grau do numerador).
Em nossa análise, iremos empregar o seguinte resultado:
Proposição: Sejam a, b, c e d números reais dados, com c ≠ d. Então existem 
constantes A e B tais que:
i. 
ii. 
Demonstração:
Devemos determinar A e B que satisfaçam (i).
Pela igualdade de polinômios temos:
Resolvendo o sistema de ordem 2 pelo método da substituição, isolando B da 
primeira equação.
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Substituindo (2) em (1) na segunda equação temos:
Substituindo (3) em (2) temos:
Diante disso, concluímos a demonstração, pois mostramos que existem A e B que 
satisfazem a proposição (i).
De forma análoga conseguimos demonstrar a preposição (ii)
Então numa integral de equações racionais, devemos proceder da seguinte maneira:
Utilizando a técnica da integração por substituição temos:
De forma análoga a segunda integral, chegamos no resultado:
Agora, vamos colocar em prática a técnica de frações parciais:
a) 
Temos:
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Pela igualdade de polinômio temos:
Resolvendo o sistema pelo método da adição temos:
Temos que:
Substituindo o valor de B na primeira equação temos que:
Podemos reescrever a expressão:
Retornando a integral temos:
Usando a técnica da substituição:
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Agora a segunda derivada:
Portanto, temos como resultado:
b) 
Primeiramente devemos achar a forma fatorada do polinômio de grau dois que 
está no denominador:
Resolvendo por soma e produto temos:
A forma fatorada é:
Reescrevendo a integral temos:
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Resolvendo por frações parciais:
Pela igualdade de polinômios temos:
Pelo método da adição temos:
Portanto, o resultado da integral é:
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c) 
Resolvendo:
Resolvendo o sistema:
Método da adição
Voltando para integral temos:
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Integrando a primeira integral:
O valor da integral é:
d) 
Note que o denominador é um trinômio quadrado perfeito
Reescrevendo a expressão temos:
Esse é o segundo caso da integração por frações parciais, podendo ser escrito da 
seguinte maneira:
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Pela igualdade de polinômios temos:
Reescrevendo a integral temos:
Derivando a segunda integral:
O resultado da integral é:
e) 
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Pela igualdade de polinômio temos:
Reescrevendo a integral temos:
O resultado da integral é:
Temos um caso especial, note que até agora, os casos acima, o grau do denominador 
sempre foi maior que o do numerador. Agora teremos quando o denominador terá 
um grau igual ou maior que o numerador. Veremos abaixo:
Note que os graus do numerador e denominador são iguais, como proceder?
Primeiramente faremos uma divisão pelo método da chave entre os polinômios:
Lembrando que pelo teorema fundamental da divisão que:
Dividendo = divisor x quociente + resto, temos que:
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Dividindo ambos os lados por x² + x – 6 temos:
Portanto, a integral será:
Perceba que agora, teremos a integração pela técnica de frações parciais
Achando a forma fatorada do denominador:Reescrevendo a integral:
Pela igualdade de polinômios temos:
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Pelo método da adição temos:
Voltando na integral:
Portanto, o resultado da integral é:
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CAPÍTULO 6
INTEGRAL DEFINIDA
Agora que estamos familiarizados com algumas técnicas de integração e 
reconhecemos que o processo de integração é o inverso da derivação, vamos explorar 
a definição de integral definida. No entanto, antes de prosseguirmos, é importante 
revisar alguns conceitos essenciais.
6.1 Definição
Divisão de um intervalo: Tomemos um intervalo arbitrário [a, b]. Uma divisão T de 
[a, b] consiste em um conjunto finito de pontos:
que divide [a,b] em n intervalos, de modo que:
Para compreendermos o conceito de integral definida, exploraremos o significado 
geométrico da integral, que está associado à área. Para isso, consideremos uma 
partição P do intervalo [a, b], conforme definido, e definimos como a diferença xi – 
xi-1, representando o comprimento do i-ésimo intervalo de P. Em cada um desses 
intervalos [xi-1, xi], selecionamos um ponto arbitrário ci. Para cada i, onde i = 1, 2, ⋯, n, 
construímos um retângulo com base ∆xi e altura f(ci), de modo que cada retângulo 
formado nos i-ésimos intervalos tenha uma área de f(ci)∆xi 
Definição (Soma de Riemann): A soma das áreas dos n retângulos da Figura (abaixo) 
dada por,
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Observe que ao aumentarmos o valor de n (onde n representa o número de retângulos), 
resultando em intervalos ∆xi cada vez menores, a soma das áreas dos n retângulos 
se aproximará da área A da região limitada pela curva y=f(x), pelo eixo x e pelas retas 
x=a e x=b, conforme ilustrado na figura abaixo:
Definição (Integral Definida): Considere f como uma função definida no intervalo 
[a, b] e T como uma partição arbitrária desse intervalo. A integral definida de f de a 
até b é expressa por:
Desde que o limite exista, dizemos que f é integrável.
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6.2 Propriedades da Integral Definida
As integrais definidas seguem as seguintes propriedades, algumas das quais já 
são conhecidas das integrais indefinidas:
1. Seja f uma função integrável no intervalo [a,b] e k uma constante, então a função 
kf é integrável no intervalo [a,b]
2. Seja f e g funções integráveis no intervalo [a,b], então a função f + g e a função 
f – g são integráveis no intervalo [a,b].
3. Seja e f é uma função integrável em [a,c] e em [c,b], então:
4. Seja f uma função integrável é tal que , então:
5. Sejam f e g integráveis no intervalo [a,b] tais que , então:
6. Seja uma função f contínua no intervalo [a,b], então:
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6.3 Teorema Fundamental do Cálculo
O Teorema Fundamental do Cálculo estabelece uma conexão fundamental entre a 
integração e a derivação. Ele oferece uma abordagem mais prática para resolver uma 
integral definida de uma função, contanto que a primitiva da função seja conhecida. 
Com isso, podemos evitar lidar diretamente com o limite presente na definição de 
integral definida.
1º Teorema Fundamental do Cálculo: Sejam f uma função integrável em [a,b] e F 
uma primitiva de f em [a,b]. Então:
6.4 Vamos Praticar?
Agora, vamos exemplificar a resolução da integral definida utilizando o teorema 
fundamental do cálculo.
a) 
Resolvendo a integral com as técnicas que já aprendemos nos capítulos anteriores:
Agora pelo teorema fundamental do cálculo vamos substituir o valor de x pelo 
intervalo dado:
Portanto, o resultado da integral 
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b) 
Resolvendo a integral
Substituindo o intervalo dado, temos:
c) 
Primeiramente vamos integrar pelo método da substituição:
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Substituindo o intervalo temos:
d) 
Vamos integrar pelo método das partes
Achando 
Usando a fórmula do método das partes temos:
Como a integral de senx = - cos x, temos:
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Basta substituímos o intervalo dado da integral
Portanto, o resultado da integral 
e) 
Integrando:
Substituindo o intervalo temos:
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f) 
Integrando pelo método da substituição:
Reescrevendo a integral temos:
Integrando:
Temos então:
Substituindo o intervalo temos:
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g) 
Primeiramente vamos resolver a integral pelo método das frações parciais
Temos:
Pela igualdade de polinômios temos:
Temos:
Substituindo pelo intervalo temos:
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h) 
Usando o método da substituição
Temos:
Integrando:
Mudando o valor de u temos:
Substituindo o intervalo temos:
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i) 
Vamos integrar usando o método por partes
Chamamos de:
Devemos achar du e v
Usando a fórmula da integração por partes temos:
O resultado da integral é:
Substituindo os valores do intervalo temos:
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CAPÍTULO 7
APLICAÇÃO DAS INTEGRAIS 
NO CÁLCULO DE ÁREAS I
Uma das utilizações mais básicas da integral definida reside no cálculo de áreas 
em superfícies planas delimitadas por curvas. Vamos explorar o método pelo qual 
essas áreas são calculadas usando a ferramenta integral.
Há cerca de 2500 anos, os gregos empregavam o “método da exaustão” como uma 
das técnicas predominantes para determinar áreas de figuras planas. Nesse método, 
a área de qualquer polígono era obtida ao dividir a figura em n triângulos, somando 
então as áreas desses triângulos. Para calcular a área de uma região plana qualquer, 
procedia-se à circunscrição da figura com polígonos. O aumento dos lados desses 
polígonos resultava em uma aproximação mais precisa da área da figura, conforme 
descrito a seguir.
Assim, considerando An como a área do polígono inscrito com n lados, à medida 
que n→∞, a área An se aproximará cada vez mais da área do círculo A. Portanto,
O propósito deste capítulo é adquirir conhecimento sobre o cálculo da área de uma 
região no plano por meio da integral definida. Para tornar o assunto mais acessível, 
iremos segmentar nosso estudo sobre o cálculo de áreas usando a integral definida 
em três casos distintos:
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7.1 Caso 1 (Área sob curvas) - Trata-se do conjunto delimitado por duas retas 
verticais, o eixo x e uma função contínua não negativa f
Vamos tomar a área A delimitada no plano pela função f, que é contínua no intervalo 
[a,b], em , pelas retas verticais x = a, x = b e o eixo x (y=0), como na figura abaixo:
Como calcular a área?
Uma abordagem seria subdividir essa região em pequenos retângulos de duas 
formas:
i. Não excedendo o limite imposto pela curva f;
ii. Excedendo o limite imposto pela curva f;
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Independentemente da abordagem escolhida, em ambos os casos, devemos levar 
em consideração uma partição P do intervalo [a,b] dada por,
Como mencionado anteriormente, a área da região A pode ser expressa como uma 
soma de Riemann. Portanto, teremos a soma de Riemann, , por falta 
de área, enquanto a soma pelo excesso de área. Portanto temos:
Em qualquer dos casos usando , definimos a área da região 
Exemplos:
1) Calcular a área da região plana limitada pela curva y = x² + 1, pelo eixo x (y=0) 
e pelas retas verticais x = -1 e x = 1 
Para resolver o exercício basta calcular:
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Integrando:
Substituindo os intervalos
Portanto, a área da região é
2) Calcule a área da região plana limitada pela curva e pela reta x = 2.
Para melhorar compreensão, a representação gráfica
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Para resolver o exercício basta calcular
Para integrar, melhor mudar a representação da raiz
Integrando:
Substituindo o valor dos intervalos
Portanto, a área da região é
3) Calcular a área da região limitada pelas curvas e o eixo x.
Para melhor compreensão temos o gráfico da curva ln:
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Para determinar a área basta calcular:
Integrando:
Substituindo os valores do intervalo temos:
Resolvendo a expressão:
Portanto, podemos dizer que o valor da área da região limitada é
4) Calcule a área da região limitada pela curva , e pela reta y=0.
A representação gráfica para melhor compreensão: 
A determinação da área é calculada através:
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Integrando:
Substituindo os intervalos, temos:
Portanto, a área da região limitada pelas curvas é
5) Calcule a área da região plana limitada pela curva e pela reta y=0.
Para melhor compreensão o gráfico da região: 
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Para calcular a área da região, basta calcular:
Integrando:
Substituindo os valores do intervalo:
Portanto, a área da região é
6) Calcule a área da região plana limitada pela curva e pela reta x = 
2 e o eixo x
Para melhor compreensão o gráfico da região é:
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Para calcular a área da região basta:
Melhorando a escrita da integral
Integrando pelo método da substituição temos:
Voltando aos valores de u temos:
Substituindo os valores do intervalo temos:
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Portanto, a área da região é
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CAPÍTULO 8
APLICAÇÃO DAS INTEGRAIS 
NO CÁLCULO DE ÁREAS II
Neste capítulo vamos explorar outros casos da aplicação das integrais no cálculo 
de áreas
8.1 Situação 2 - Um intervalo definido por duas linhas verticais, o eixo x e uma 
função f que é contínua e negativa.
Vamos analisar, neste momento, a região A circunscrita no plano pela função f, que 
é contínua no intervalo [a, b], com f(x) ≤ 0 para todo x pertencente a [a, b], juntamente 
com as linhas verticais em x=a, x=b e o eixo x (y=0), conforme representado na Figura.
Nesse caso, a área da região A é dada por:
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Vamos aos exemplos:
1) Calcule a área da região delimitada pela curva y=x² – 1 e pela reta y=0.
Resolução:
Para melhor compreensão vamos observar o gráfico da função 
Para obtermos a área da região basta calcularmos:
Vamos integrar!
Agora é substituir os valores do intervalo.
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Portanto, a área da região é:
2) Calcule a área da região limitada pelo gráfico de f(x)=x² +x –2, pelas retas 
verticais x = 0 e x = 2 e pelo eixo x.
Vamos colocar o gráfico para melhor visualização:
Perceba que, para calcular a área total, teremos que calcular a área de duas regiões, 
a primeira com o intervalo de [0;1] e a segunda com o intervalo de [1;2], note que, a 
primeira região está localizada na parte debaixo do eixo x, portanto, teremos que usar 
o caso 2 para calcular a área dessa região, ao final do cálculo das duas regiões basta 
somarmos os resultados para obtermos a área total.
Vamos aos cálculos:
Temos então: 
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Como temos a mesma função em intervalos distintos, vamos integrá-la apenas 
uma vez
Agora vamos determinar a primeira área:
Agora vamos calcular a segunda área
Perceba que a segunda parte dessa conta, nós já temos o resultado dela, uma vez 
que, é o resultado da primeira área. Temos:
Agora, para descobrirmos o valor da área total basta somarmos as áreas:
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8.2 Situação 3 (Área entre Curvas) - A região cuja área será determinada é definida 
pelas curvas de duas funções contínuas no intervalo [a, b], onde f(x) ≥ g(x) para 
todos os x em [a, b].
Nesta situação, a área da região compreendida entre as curvas das funções f e g 
é determinada pela diferença entre as áreas da região limitada pela curva f e a região 
delimitada pela curva g, conforme descrito a seguir.
Analisando geometricamente, temos:
Vamos aos exemplos:
1) Calcule a área da região delimitada pelas curvas .
Para melhor visualização temos o gráfico:
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Pelo gráfico, podemos notar de maneira fácil as intersecções entre as duas curvas, 
mas vamos supor se não tivéssemos o gráfico? Como determinar as intersecções? 
As intersecções são pontos comuns para as curvas, então basta igualar as funções 
e determinar os valores de x.
Temos: 
Resolvendo a equação quadrática incompleta em c por fatoração temos que os 
valores das intersecções entre as curvas são:
Então, para determinar a área da região entre as duas curvas basta calcularmos:
Vamos integrar: 
Agora, basta substituirmos o valor dos intervalos, temos
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Portanto a área da região entre as duas curvas é:
2) Calcule a área da região delimitada pelas curvas 
Vamos ao gráfico:
Temos alguns pontos no gráfico que merecem destaque, primeiro, a área entre 
as duas curvas está dividida em duas áreas, portanto, a soma dessas áreas é que 
determinará a área entre essas curvas. Segundo ponto, para determinarmos o ponto 
de intersecção entre essas duas curvas faremos a igualdade entre as curvas. Terceiro, 
note que na área I temos a função da raiz por cima da função quadrática e que na 
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área II a função quadrática está por cima da função raiz, isso será importante para 
calcularmos as áreas.
Achando a intersecção entre as curvas:
Note que os valores que satisfazem a equação acima são 
Então, temos que a intersecção entre as curvas é 
Para calcularmos a área entre as duas curvas temos:
Calculando primeiro: 
Integrando temos:
Substituindo o intervalo temos:
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Calculando:
Integrando:
Substituindo o intervalo temos:
Agora para calcularmos a área total basta somarmos as áreas, temos:
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CAPÍTULO 9
APLICAÇÕES DAS INTEGRAIS 
NO CÁLCULO DE VOLUMES DE 
SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO I
Já exploramos o método de calcular a área de uma região no plano através da 
integral definida. Neste capítulo, abordaremos a aplicação da integral definida para 
determinar o volume de um sólido de revolução, uma aplicação igualmente fascinante. 
Este desafio é comparável à tarefa de calcular a área, como será demonstrado a seguir.
9.1 Volume de um sólido de revolução obtido pela rotação de uma região plana 
em torno do eixo x
O propósito nesta instância é adquirir conhecimento sobre o cálculo do volume de 
um sólido de revolução, resultante da rotação de uma área específica do plano em 
torno do eixo x. Posteriormente, abordaremos a abordagem a ser seguida quando a 
rotação ocorrer em torno do eixo y, ou se ela se manifestar em torno de uma linha 
paralela a um dos eixos ordenados.
9.1.1 Situação 1 - Cálculo do Volume de um Sólido de Revolução gerado pela 
rotação de uma área no plano em torno do eixo x.
Nesta situação, vamos levar em consideração duas condições: quando a função 
f é positivae está acima do eixo x, e quando a função f é negativa e está abaixo do 
eixo x. Considere, no plano, a área limitada pela função contínua e não negativa y = 
f(x), pela linha x = a e pelo eixo x, conforme ilustrado na figura a seguir.
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Adquirimos um sólido de revolução ao girar uma área plana em torno de uma linha 
no plano. A linha em torno da qual realizamos a rotação da área plana é denominada 
eixo de revolução. 
Na figura abaixo, é possível visualizar nossa área plana em três dimensões, e vamos 
estabelecer um eixo de revolução para essa região.
Girando a região plana em torno do seu eixo de revolução podemos obter o sólido 
de revolução visualizado abaixo.
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Vamos estabelecer formalmente a definição do volume de um sólido S gerado pela 
rotação da área plana R em torno do eixo x. Dividiremos nosso estudo em três casos. 
Primeiramente, consideraremos o cenário em que a região R é limitada por uma única 
função contínua não negativa. Em seguida, abordaremos o caso em que R é limitada 
por uma única função contínua que é negativa em alguns pontos do intervalo. Por 
fim, examinaremos o caso em que a região R é limitada por duas funções contínuas.
9.1.1.1 Caso 1(a) - A área no plano R é definida pela função y=f(x), contínua e 
não negativa no intervalo [a,b], juntamente com as linhas x = a e x = b.
Dessa forma, considere y como uma função contínua e não negativa no intervalo [a,b]. 
Seja R a área no plano delimitada pela curva y=f(x) e pelas linhas x=a e x=b (ver abaixo)
.
Girando a região R, em torno do eixo x, obtemos o sólido de revolução como descreve 
a figura abaixo:
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Para formalizar a definição do volume do sólido de revolução S, considere uma 
partição P do intervalo [a,b], dada por . Para 
cada , considere um retângulo com base e altura . Ao 
fazer cada retângulo girar em torno do eixo x, obtemos um cilindro como sólido de 
revolução, destacado na figura abaixo. Observa-se que o cilindro resultante desse 
processo possui raio e altura .
Como sabemos que o volume de um cilindro é:
Temos: 
Dessa maneira, a soma dos volumes dos n cilindros proporciona uma aproximação 
do volume do sólido de revolução S, expressa por:
Ao deixar , obtemos uma soma de Riemann. Finalmente, podemos 
definir o volume do sólido de revolução S por meio da integral.
Esse método também é conhecido por Método do disco.
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Vamos aos exemplos:
1) Calcule o volume do sólido de revolução, gerado pela rotação da região R em 
torno do eixo x, delimitada pela curva , pelo eixo x e pelas retas x 
= 0 e x = 2.
Vamos visualizar o gráfico.
Para determinarmos o volume da região R, basta calcularmos:
Resolvendo primeiramente o produto notável, temos:
Integrando temos:
Substituindo o intervalo temos:
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9.1.1.2 Caso 1(b) - A área no plano R é definida pela função y=f(x), contínua no 
intervalo [a,b] e negativa em alguns pontos desse intervalo, juntamente com as 
linhas x=a e x=b.
Observemos as figuras a seguir. Note que a área da região na Figura é equivalente 
à região da Figura, o que sugere a necessidade de utilizar o módulo da função y = f 
(x) no cálculo do volume do sólido de revolução gerado pela rotação dessa área plana.
Note, que em qualquer rotação, resulta o mesmo sólido de revolução, acompanhe 
na figura abaixo.
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Como , temos a mesma expressão do item acima para definir o 
volume do sólido de revolução:
Vamos aos exemplos desse item:
1) Calcule o volume do sólido de revolução, gerado pela rotação da região R em 
torno do eixo x, delimitada pela curva , pelo eixo x e pela reta x=1.
Vamos visualizar o gráfico:
Para calcular o volume dessa região rotacionada, basta calcular:
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Calculando a potência, temos:
Integrando:
Substituindo o intervalo temos:
2) Calcule o volume do sólido de revolução, gerado pela rotação da região R em torno 
do eixo x, delimitada pela curva , pelo eixo x e pelas retas 
Visualizando o gráfico temos:
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Note, que para calcular o volume o sólido rotacionado, temos duas regiões, uma 
com o intervalo de [-1;0] e a outra com o intervalo de [0;1], portanto, o volume pode 
ser expresso por:
Calculando as potências temos:
Resolvendo a primeira integral
Substituindo o intervalo temos:
Resolvendo a segunda integral:
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Substituindo os intervalos temos:
Para determinar o volume basta somar o resultado das duas integrais:
Se tivéssemos feito:
Chegaríamos no mesmo valor, deixo para vocês a verificação.
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CAPÍTULO 10
APLICAÇÕES DAS INTEGRAIS 
NO CÁLCULO DE VOLUMES DE 
SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO II
Vamos continuar nosso estudo das aplicações das integrais no cálculo de volumes 
de sólidos de rotação. No capítulo anterior vimos dois casos da primeira situação, 
agora veremos aqui o terceiro caso e a obtenção do sólido rotacionando a região em 
torno do eixo y.
10.1 Caso 1(c) - A área R é limitada por duas funções contínuas f e g em [a,b], 
de modo que f(x)≥g(x) para todo x pertencente ao intervalo [a,b]
Esse cenário assemelha-se ao estudado no cálculo de áreas de regiões limitadas 
por duas curvas. Aqui, o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da área 
R em torno do eixo x é determinado pela diferença entre o volume do sólido gerado 
pela rotação da região delimitada apenas pela curva y = f(x) e pelas linhas x = a e x = 
b, e o volume do sólido gerado pela rotação da região delimitada apenas pela curva 
y = g(x) e pelas linhas x = a e x = b. Ou seja,
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Podemos concluir, que o volume do sólido rotacionado em torno do eixo x é dado 
pela expressão:
Vamos aos exemplos dessa parte:
1) Calcule o volume do sólido de revolução, gerado pela rotação da região R em 
torno do eixo x, delimitada pelas curvas , y = x e pela reta x=2
Visualizando o gráfico:
Para calcular o volume da região basta:
Calculando o produto notável e reduzindo a termos semelhantes temos:
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Vamos integrar:
Substituindo o intervalo temos:
Temos que, o volume do sólido é:
2) Calcule o volume do sólido de revolução, gerado pela rotação da região R em 
torno do eixo x, delimitada pelas curvas e y = x.
Vamos analisar o gráfico:
No gráfico, fica claro que o ponto de intersecção entre as curvas é para x = 1, mas, 
vamos calcular, caso não tivéssemos o auxílio do gráfico
Para determinar o ponto de intersecção basta igualar as funções, temos:
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Assim, conseguimos determinar que as raízes da função são x = 0 e x = 1, portanto, 
os pontos de intersecção entre as curvas é 0 e 1.
Agora conseguimos determinar o volume do sólido através da expressão:
Calculando a potência temos:
Integrando:
Substituindo o intervalo temos:
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10.2 Volume de um sólido de revolução obtido pela rotação de uma região plana 
em torno do eixo y
Ao girar uma área plana em torno do eixo y, obtemos um sólido de revolução. Nesse 
contexto, o volume desse sólido pode ser calculado de maneira análoga ao método 
descrito anteriormente para a rotação em torno do eixo x. Vamos considerar o caso 
em que a região no planoé delimitada por uma função contínua e não negativa x = 
g(y) em um intervalo [c,d] e pelas linhas y = c e y = d.
A definição formal do volume V desse sólido de revolução pode ser expressa através 
da seguinte integral:
Vamos ao exemplo:
1) Calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo 
y, da região plana delimitada pelas curvas , x ≥ 0, e y = 4.
Analisamos o gráfico:
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Note, que vamos integrar em y, então, será necessário deixar a função em função 
de y. Temos:
Enfim, podemos calcular o volume do sólido através da expressão:
Simplificando a expressão temos:
Integrando:
Substituindo o intervalo temos:
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10.3 Volume de um sólido de revolução obtido pela rotação de uma região plana 
em torno de uma reta paralela a um dos eixos coordenados
Existem duas situações possíveis: a primeira ocorre quando o eixo de rotação é uma 
linha x = M, alinhada ao eixo y, conforme ilustrado na figura a esquerda; a segunda 
ocorre quando o eixo de rotação é uma linha y = N, alinhada ao eixo x, como mostrado 
na figura a direita. No primeiro cenário, quando o eixo de rotação é a linha x = M, o 
procedimento para calcular o volume do sólido resultante após a rotação é o seguinte.
Na segunda situação, quando o eixo de rotação é a linha y = N, o processo a ser 
seguido é o seguinte:
Vamos aos exemplos:
1) Calcule o volume do sólido gerado pela rotação, em torno da reta y = 1, de uma 
região limitada pelas curvas , x = 1 e x = 3.
Vamos analisar o gráfico:
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Para calcular vamos usar a expressão:
Calculando o produto notável temos:
Integrando temos:
Substituindo os valores do intervalo temos:
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2) Calcule o volume do sólido gerado pela rotação, em torno da reta , de 
uma região limitada pelas curvas , y = 2 e y = 1.
Vamos visualizar o gráfico:
Para calcularmos o volume, iremos integrar em y, então a função precisa estar em 
função de y.
Para calcular o volume vamos usar a expressão:
Vamos calcular o produto notável:
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Vamos integrar:
Substituindo o valor do intervalo, temos:
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CAPÍTULO 11
APLICAÇÃO DA INTEGRAL NO 
CÁLCULO DE COMPRIMENTO DE 
ARCO DE UMA CURVA PLANA
Já exploramos a aplicação da integral no cálculo de áreas de regiões no plano e 
no cálculo de volumes de sólidos de revolução. Agora, abordaremos como utilizar a 
integral para calcular o comprimento de arco de uma curva no plano, em um intervalo 
específico [a,b], utilizando sua equação cartesiana.
11.1 Comprimento do arco de uma curva C qualquer
A abordagem é semelhante àquela aplicada no cálculo de área e volume. Vamos 
dividir o intervalo [a,b], resultando em uma poligonal cujo comprimento nos fornecerá 
uma aproximação do comprimento do arco da curva. Vejamos a figura a seguir:
Considerando uma função f contínua e diferenciável no intervalo [a,b], uma curva 
C com equação y = f(x), e uma partição P de [a,b], dada por 
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Assim, a partição P gera uma poligonal. Denotaremos como o comprimento 
do i-ésimo segmento da poligonal, e I como o comprimento total da poligonal no 
intervalo [a,b]. Observa-se que cada pode ser determinado pelo conhecido Teorema 
de Pitágoras, conforme destacado na figura abaixo. Portanto, o comprimento de 
cada segmento é dado por:
Com isso, podemos dizer que o comprimento total da poligonal é expresso por:
Através do Teorema do Valor Médio, uma vez que f é diferenciável em [a,b], concluímos 
que para cada intervalo existe tal que:
Podemos escrever então:
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Perceba, que o item acima representa uma soma de Riemann, então, fazendo 
, temos o comprimento da curva dada pela expressão:
Vamos aos exemplos:
1) Determine o comprimento do arco da curva dada por no intervalo [0,4]
Primeiramente, devemos calcular a derivada da função f
O comprimento da curva pode ser expresso por:
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Calculando a potência, temos:
Vamos integrar usando o método da substituição:
Temos então a escrita com u:
Integrando:
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Voltando o valor de u temos:
Substituindo o intervalo temos:
Logo, o comprimento da curva é:
2) Determine o comprimento do arco da curva dada por no intervalo [0,3].
Assim, como na primeira, aqui também precisamos determinar a derivada da função:
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A expressão para calcular o comprimento da curva é:
Calculando a potência temos:
Vamos integrar usando o método da substituição:
Temos então a escrita com u:
Integrando:
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Voltando o valor de u temos:
Substituindo o valor do intervalo temos:
Portanto, o comprimento da curva é:
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CAPÍTULO 12
INTEGRAIS IMPRÓPRIAS
Até agora, tratamos de integrais de funções definidas, contínuas e limitadas em um 
intervalo fechado. Agora, vamos flexibilizar algumas dessas condições. Ou seja, vamos 
ampliar o conceito de integral definida para casos em que o intervalo de integração é 
infinito (o que significa que a função não é definida apenas em um intervalo fechado) 
ou quando a função integranda apresenta uma descontinuidade infinita nesse intervalo 
(nesse caso, a função pode ser definida em um intervalo fechado, mas não é limitada).
Dessa maneira, vamos explorar a abordagem adequada para calcular integrais do 
tipo:
Essas integrais, denominadas integrais impróprias, surgem em várias aplicações, 
especialmente quando é necessário considerar uma região que se estende 
indefinidamente ao longo do eixo x. Alguns exemplos de aplicações de integrais 
impróprias incluem a Teoria Cinética dos Gases, o estudo das forças entre partículas 
quando a distância tende a infinito, entre outros.
12.1 Integrais impróprias com limites de integração infinitos
Na figura a seguir, podemos observar a região infinita R. Devido à sua natureza 
infinita, a primeira intuição seria que sua área também fosse infinita. Será que isso 
realmente ocorre? Vamos tentar responder a essa questão ao longo do nosso estudo. 
Primeiramente, vamos definir formalmente a integral imprópria com limites de integração 
infinitos.
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12.1.1 Função contínua para todo x≥a
Seja f uma função contínua para todo x ≥ a, podemos definir:
Caso o limite exista.
12.1.2 Função contínua para todo x≤a
Seja f uma função contínua para todo x ≤ b, podemos definir:
Caso o limite exista.
12.1.3 Função contínua para todo x
Seja f uma função contínua para todo x, podemos definir:
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12.1.4 Classificação
As integrais impróprias são consideradas convergentes se os limites associados 
existem e são finitos. Caso contrário, são classificadas como divergentes, o que ocorre 
quando os limites não existem ou são infinitos.
Vamos aos exemplos:
1) Determine a área da região à direita de x = 1, delimitada pela curva e o 
eixo x.
Vamos analisar o gráfico da função:
A expressão que determina a área da curva é dada por:
Vamos calcular primeiramente a integral:
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Integrando:
Substituindo o intervalo, temos:
Agora, podemosvoltar no limite:
Podemos ver que a área da região é , sendo assim, podemos classificar 
a integral imprópria como convergente, pois, o limite resultou em um valor finito.
2) Calcule a área da região delimitada pela curva , o eixo x e a reta x = 1, 
com x > 0.
Vamos analisar o gráfico:
A área da curva é dada pela expressão:
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Primeiramente vamos calcular a integral:
Vamos substituir o intervalo:
Agora voltando no limite temos:
Diferente do exemplo anterior, vimos que a integral imprópria é 
divergente, logo, possui área infinita.
3) Calcule a área da região delimitada pela curva y=ln x, o eixo x e a reta x=1, 
considere a região à direita de x=1
Vamos visualizar o gráfico:
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A expressão que calcula a área da região infinita é:
Vamos calcular primeiro a integral:
Substituindo o intervalo temos:
Voltando no limite temos:
Note que a integral imprópria é divergente, sendo assim a área da região infinita 
é infinita.
4) Calcule a área da região delimitada pela curva e o eixo x, à esquerda 
de x = 0.
Vamos visualizar o gráfico: 
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A área da região infinita pode ser expressa por:
Primeiramente vamos calcular a integral:
Substituindo o intervalo temos:
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Voltando no limite, temos:
Note, que a integral imprópria é convergente, portanto, a área da região infinita tem 
um valor finito, que no caso é .
5) Vamos investigar a integral imprópria:
Temos então:
Podemos ainda, escrever o lado direito:
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Vamos integrar:
Substituindo o intervalo:
Vamos integrar:
Substituindo o intervalo:
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Voltando no limite, temos:
Podemos concluir que a integral imprópria é divergente, uma vez que o resultado 
do limite deu infinito.
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CAPÍTULO 13
INTEGRAIS DUPLAS I
A busca por solucionar a questão da determinação de áreas resultou na formulação da 
integral definida. Empregaremos uma abordagem análoga para determinar o volume de 
um objeto tridimensional, e esse método nos conduzirá à conceituação da integral dupla.
Vamos analisar uma função f de duas variáveis definida em um retângulo fechado.
E inicialmente, vamos assumir que f é a função. O gráfico de f representa a superfície 
com a equação z = f(x,y). Seja S o sólido que se encontra acima da região R e abaixo 
do gráfico de f, isto é,
Nosso propósito é calcular o volume de S. O passo inicial envolve a subdivisão 
do retângulo R em sub-retângulos. Faremos isso dividindo o intervalo [a,b] em m 
subintervalos de comprimento igual e o intervalo [c,d] em n 
subintervalos de mesmo comprimento . Traçando retas paralelas 
aos eixos coordenados, que passam pelas extremidades dos subintervalos, conforme 
ilustrado na figura abaixo, criamos os sub-retângulos.
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Ao selecionarmos um ponto arbitrário, que denominaremos ponto de amostragem 
, em cada sub-retângulo , podemos aproximar a porção de S que se encontra 
acima de cada por uma caixa retangular estreita (ou “coluna”) com uma base 
e altura . O volume dessa caixa é determinado multiplicando a altura pela 
área do retângulo base:
Se prosseguirmos com esse procedimento para todos os retângulos e somarmos os 
volumes das caixas correspondentes, alcançaremos uma aproximação para o volume 
total de S:
Essa soma dupla implica que, para cada sub-retângulo, calculamos o valor de f no 
ponto de amostragem escolhido, multiplicamos esse valor pela área do sub-retângulo 
e, em seguida, somamos os resultados.
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Nossa intuição sugere que a aproximação melhora à medida que aumentamos os 
valores de m e n, e, portanto, devemos esperar que: 
Diante disso, podemos definir a integral dupla de f sobre o retângulo R é
Podemos ainda dizer, que se então o volume V do sólido que está acima do retângulo 
R e abaixo da é
13.1 Integrais Iteradas
Lembremos que geralmente é desafiador calcular as integrais de funções de uma 
variável real diretamente a partir da definição de integral. No entanto, o Teorema 
Fundamental do Cálculo proporciona um método mais acessível para calculá-las. O 
cálculo de integrais duplas pela definição é ainda mais complexo; no entanto, nesta 
seção, exploraremos como expressar uma integral dupla como uma integral iterada, 
cujo valor pode ser obtido calculando duas integrais unidimensionais.
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Suponha que f seja uma função de duas variáveis integrável no retângulo 
. Utilizaremos a notação indicando que x é mantido 
fixo e é integrada em relação a y de a até b. Esse procedimento é denominado 
integração parcial em relação a y. (Observe a semelhança com a derivada parcial.). 
Como é um número que depende do valor de x, ele define uma função 
de x:
Se agora integrarmos a função A em relação à variável x de a até b, obteremos:
A expressão que aparece no lado direito da equação acima é denominada integral 
iterada. Comumente, os colchetes associados a essa notação são deixados de fora. 
Dessa forma,
significa que primeiro integramos com relação a y de c a d e depois em relação a 
x de a até b.
Vamos aos exemplos:
1) 
Primeiramente, vamos integrar em relação a y, ou seja, sempre vamos integrar, de 
dentro para fora.
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Integrando:
Substituindo o intervalo temos:
Agora vamos integrar em relação a x, temos:
Integrando:
Substituindo o intervalo
Portanto, o valor da integral 
2) 
Primeiro vamos integrar: 
Integrando: 
Substituindo o intervalo:
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Agora temos que integrar:
Integrando:
Substituindo o intervalo temos:
Enfim, chegamos no resultado da integral dupla 
13.2 Teorema de Fubini
Se f for uma função contínua no retângulo 
Então 
De maneira mais abrangente, esse resultado é válido se assumirmos que f é limitada 
em R, f possui descontinuidades apenas em um número finito de curvas suaves, e 
que a integral iterada existe.
Vamos a mais um exemplo:
1) 
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Vamos integrar 
Integrando:
Substituindo o intervalo temos:
Agora vamos integrar:
Integrando:
Substituindo o intervalo:
2) Agora, vamos integrar
Começando por:
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Integrando:
Substituindo o intervalo temos:
Agora temos:
Integrando:
Substituindo o intervalo temos:
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CAPÍTULO 14
INTEGRAIS DUPLAS II
Continuaremos nosso estudo sobre integrais duplas, veremos neste capítulo algumas 
aplicações e teorias como o cálculo de volumes.
14.1 Volumes
Podemos interpretar a integral dupla como o volume do sólido S 
que está acima de R e abaixo da superfície temos:
Vamos aos exemplos:
1) Determine o volume do sólido S que é limitado pelo paraboloide elíptico 
 , pelos planos x = 2 e y = 2 e pelos três planos coordenados
Primeiramente devemos isolar z, temos:
Portanto, podemos determinar o volume do sólido S através da expressão
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Basta integrarmos a expressão, vamos integrar primeiro:
Integrando:
Substituindo o intervalo, temos:
Voltando na integral, temos:
Integrando,
Substituindo o intervalo temos:
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Portanto, o volume do sólido S é:
2) Determine o volume do sólido que se encontra abaixo do plano 
e acima do retângulo 
Vamos preparar a equação primeiro, temos:
Para calcularmos o volume o sólido basta calcularmos:
Vamos integrar primeiro, 
Substituindo o intervalo, temos:
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Agora temos a integral:
Vamos integrar:
Substituindo o valor do intervalo temos:
Portanto, o volume será:
3) Determine o volume do sólido que está abaixo do paraboloide elíptico 
 e acima do retângulo R = [-1,1] x [-2,2]
Primeiramente temos:
Para determinar o volume do sólido temos que calcular:
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Vamos calcular:
Substituindo o intervalo temos:
Agora temos a integral:
Integrando:
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Substituindo o intervalo temos:
Portanto, o volume do sólido é: 
4) Determine o volume do sólido que está abaixo do paraboloide e 
acima da região D do plano xy limitada pela reta e pela parábola 
Se fizermos o gráfico perceberemos que a região D: 
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Então para calcularmos o volume da região temos:
Vamos integrar:
Integrando:
Substituindo o intervalo temos:
Agora temos a integral:
Integrando:
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Vamos substituir o intervalo:
Portanto, o volume da região é:
5) Determine o volume do sólido que se encontra abaixo do paraboloide hiperbólico 
 e acima do retângulo R = [-1,1] X [-2,2]
Para calcularmos o volume do sólido basta encontrarmos o valor:
Vamos calcular primeiro:
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Vamos substituir o valor do intervalo:
Agora, temos integral:
Integrando:
Agora vamos substituir o intervalo:
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Portanto, o volume do sólido é de:
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CAPÍTULO 15
INTEGRAIS TRIPLAS
Da mesma forma que estabelecemos integrais unidimensionais para funções que 
envolvem apenas uma variável e integrais duplas para funções que incluem duas 
variáveis, procederemos à definição de integrais triplas para funções que dependem de 
três variáveis. Inicialmente, abordaremos a situação mais básica, que ocorre quando 
a função é definida dentro de um volume delimitado por uma caixa retangular:
A etapa inicial consiste na subdivisão de B em subcaixas. Esse processo é executado 
ao dividir o intervalo [a, b] em l subintervalos [xi-1,xi] de comprimentos iguais ∆x, dividir 
[c, d] em m subintervalos [yj-1,yj] de comprimentos ∆y, e dividir [p, q] em n subintervalos 
[zk-1,zk] de comprimento ∆z. Os planos que se estendem entre as extremidades desses 
subintervalos, mantendo-se paralelos aos planos coordenados, resultam na subdivisão 
da caixa B em um total de lmn subcaixas.
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Como visto na figura acima, temos que, cada subcaixa tem volume:
Dessa forma, temos a soma tripla de Riemann:
De forma análoga a definição da integral dupla temos a definição da integral tripla:
A integral tripla de f na caixa B é:
Da mesma forma que ocorre com as integrais duplas, o procedimento prático para 
calcular uma integral tripla envolve expressá-la como uma integral iterada, conforme 
descrito a seguir.
Teorema de Fubini para as Integrais Triplas:
Se f é contínua em uma caixa retangular B= , então:
Perceba, que estamos usando essa ordem, integramos em relação a z mantendo 
x e y fixas, posteriormente, integramos y mantendo x fixa, e por fim integramos a x. É 
importante notar, que além dessa ordem existem outras cinco ordens que podemos 
integrar. Temos:
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Vamos aos exemplos:
1) Calcule a integral tripla onde B é a caixa retangular dada por:
Temos a integral:
Integrando primeiro:
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Integrando:
Substituindo o intervalo temos:
Agora temos a expressão:
Integrando: 
Temos:
Substituindo o intervalo:
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Por fim, temos a integral:
Integrando:
Substituindo o intervalo temos:
Portanto o valor da integral tripla é:
2) Calcule a integral 
Vamos integrar:
Integrando:
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Substituindo o intervalo:
Agora temos a integral:
Integrando:
Temos: 
Substituindo o intervalo, temos:
Por fim temos a integral:
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Integrando:
Substituindo o intervalo:
3. Calcule a integral:
Calculando a integral:
Integrando:
Substituindo o intervalo temos:
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Agora temos a integral:
Integrando agora:
Integrando:
Substituindo o intervalo:
Por fim temos a integral:
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Integrando:
Substituindo o intervalo temos:
Portanto, o resultado da integral tripla é 
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CONCLUSÃO
Ao término desta jornada matemática através do universo das integrais, é apropriado 
refletir sobre a riqueza e a profundidade que esse ramo do cálculo oferece. A habilidade 
de manipular símbolos aparentemente simples como ∫ e dx transcende a simplicidade 
superficial, revelando-se como uma ferramenta indispensável na análise e resolução 
de problemas complexos.
Ao abordarmos as integrais imediatas, mergulhamos nos fundamentos, solidificando 
as bases necessárias para compreender as técnicas de integração. 
As integrais definidas e indefinidas, apresentadas com clareza, proporcionaram uma 
compreensão abrangente das relações entre funções e áreas, bem como a importância 
da constante arbitrariedade associada às integrais indefinidas. As aplicações práticas, 
desde o cálculo de áreas até a determinação de volumes, destacaram a versatilidade 
desta ferramenta, aproximando-nos de problemas do mundo real.
As integrais impróprias, com sua complexidade adicional, serviram como desafio 
enriquecedor, estimulando-nos a considerar situações em que as condições tradicionais 
de convergência são desafiadas. As integrais duplas e triplas abriram as portas para 
a análise em dimensões superiores, expandindo nosso entendimento e aplicação do 
cálculo integral em diversos campos do conhecimento.
Concluímos esta jornada com um profundo apreço pela elegância e utilidade das 
integrais. Este livro aspira não apenas a transmitir conhecimento, mas a inspirar 
a paixão pelo rigor matemático e a apreciação pela beleza intrínseca das relações 
matemáticas. Que este seja um guia valioso para aqueles que buscam dominar o 
cálculo integral, proporcionando uma base sólida para enfrentar desafios matemáticos 
futuros com confiança e destreza. O universo das integrais espera, agora, ser explorado 
mais profundamente pelos olhos críticos e ávidos daqueles que se aventuraram nestas 
páginas.
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ELEMENTOS COMPLEMENTARES 
LIVRO
Título: Calculo
Autor: James Stewart
Editora: Trilha
FILME
Título: Uma mente brilhante
Ano: 2002
Sinopse: o filme conta a história do professor 
que alcançou a fama após resolver um 
problema relacionado à teoria dos jogos 
em 1994
WEB
Calculadora de integrais definidas online
https://pt.symbolab.com/solver/definite-integral-calculator 
https://pt.symbolab.com/solver/definite-integral-calculator
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