Em um grupo formado por 75 músicos, sabe-se que 3/5 deles tocam violão e que 35 pessoas desse grupo tocam guitarra. Sabe-se ainda que 18 pessoas de...

Vamos resolver essa questão utilizando a teoria dos conjuntos. Sabemos que o grupo tem 75 músicos, e que 3/5 deles tocam violão. Logo, o número de músicos que tocam violão é: 3/5 x 75 = 45 Também sabemos que 35 pessoas desse grupo tocam guitarra. Seja G o conjunto de músicos que tocam guitarra e V o conjunto de músicos que tocam violão. Temos que: |G ∪ V| = |G| + |V| - |G ∩ V| Ou seja, a quantidade de músicos que tocam guitarra ou violão é igual à soma das quantidades de músicos que tocam guitarra e violão, menos a quantidade de músicos que tocam guitarra e violão ao mesmo tempo. Substituindo pelos valores que temos, temos: |G ∪ V| = 35 + 45 - |G ∩ V| |G ∪ V| = 80 - |G ∩ V| Também sabemos que 18 pessoas desse grupo não tocam violão nem guitarra. Seja N o conjunto de músicos que não tocam violão nem guitarra. Temos que: |G ∪ V ∪ N| = |G ∪ V| + |N| - |(G ∪ V) ∩ N| Ou seja, a quantidade de músicos que tocam guitarra, violão ou nenhum dos dois é igual à soma das quantidades de músicos que tocam guitarra ou violão e dos que não tocam nenhum dos dois, menos a quantidade de músicos que tocam guitarra, violão e nenhum dos dois ao mesmo tempo. Substituindo pelos valores que temos, temos: |G ∪ V ∪ N| = 80 + 18 - |(G ∪ V) ∩ N| |G ∪ V ∪ N| = 98 - |(G ∪ V) ∩ N| Mas sabemos que o conjunto de músicos que não tocam violão nem guitarra é exatamente N, ou seja: N = 18 Substituindo na equação anterior, temos: |G ∪ V ∪ 18| = 98 - |(G ∪ V) ∩ 18| |G ∪ V ∪ 18| = 98 - |G ∩ 18| - |V ∩ 18| + |G ∩ V ∩ 18| Mas sabemos que o conjunto de músicos que tocam guitarra e violão e não tocam nenhum dos dois é vazio, ou seja: |G ∩ V ∩ 18| = 0 Substituindo na equação anterior, temos: |G ∪ V ∪ 18| = 98 - |G ∩ 18| - |V ∩ 18| Mas sabemos que a quantidade de músicos que não tocam guitarra é igual à diferença entre o número total de músicos e o número de músicos que tocam guitarra, ou seja: |¬G ∩ 75| = 75 - 35 = 40 Substituindo na equação anterior, temos: |V ∪ 18| = 98 - |G ∩ 18| - 40 |V ∪ 18| = 58 - |G ∩ 18| Mas sabemos que a quantidade de músicos que tocam apenas violão é igual à diferença entre o número de músicos que tocam violão e o número de músicos que tocam guitarra e violão, ou seja: |V ∖ G| = |V| - |G ∩ V| Substituindo pelos valores que temos, temos: |V ∖ G| = 45 - |G ∩ V| Mas sabemos que a quantidade de músicos que tocam apenas guitarra é igual à diferença entre o número de músicos que tocam guitarra e o número de músicos que tocam guitarra e violão, ou seja: |G ∖ V| = |G| - |G ∩ V| Substituindo pelos valores que temos, temos: |G ∖ V| = 35 - |G ∩ V| Mas sabemos que a quantidade de músicos que tocam guitarra e violão é igual a 23, ou seja: |G ∩ V| = 23 Substituindo na equação de |V ∖ G|, temos: |V ∖ G| = 45 - 23 |V ∖ G| = 22 Substituindo na equação de |G ∖ V|, temos: |G ∖ V| = 35 - 23 |G ∖ V| = 12 Mas sabemos que a quantidade de músicos que não tocam violão nem guitarra é igual a 18, ou seja: |¬G ∩ ¬V| = 18 E sabemos que a quantidade de músicos que tocam pelo menos um dos dois instrumentos é igual a |G ∪ V|, ou seja: |G ∪ V| = 80 Agora podemos responder às alternativas: a) O número de pessoas desse grupo que tocam apenas guitarra é igual a 30 Falso. Já vimos que |G ∖ V| = 12. b) O número de pessoas desse grupo que tocam apenas violão é igual a 45 Falso. Já vimos que |V ∖ G| = 22. c) O número de pessoas desse grupo que tocam guitarra e violão é igual a 23 Verdadeiro. Já vimos que |G ∩ V| = 23. d) O número de pessoas desse grupo que não tocam guitarra é igual a 22 Falso. Já vimos que |¬G ∩ 75| = 40, então o número de pessoas que tocam guitarra é 75 - 40 = 35. Logo, o número de pessoas que não tocam guitarra é 75 - 35 = 40 - 23 = 17. Mas sabemos que 18 pessoas desse grupo não tocam violão nem guitarra, então o número de pessoas que tocam apenas violão é 45 - 23 - 17 = 5. Portanto, a alternativa correta é a letra c).