Prove que a soma de um racional com um irracional é um irracional. O produto de um racional diferente de zero com um irracional é racional ou irrac...

Prove que a soma de um racional com um irracional é um irracional. O produto de um racional diferente de zero com um irracional é racional ou irracional? Justifique. Prove que é irracional. é racional ou irracional? Justifique. Verifique as identidades em que x > 0 e y > 0. Determine uma aproximação por falta, com duas casas decimais exatas, de Prove: se para todo r > 0, r real, | a − b | < r, então a = b. Sejam x, y dois reais quaisquer com x > 0 e y > 0. Mostre que Sejam x, y dois reais quaisquer, com 0 < x < y. Prove A afirmação: “para todo real x ≥ 0, x ≥ ” é falsa ou verdadeira? Justifique. POTÊNCIA COM EXPOENTE RACIONAL Sejam a > 0 um real e um racional. Definimos Tendo em vista a propriedade (2) das raízes, segue que tal definição não depende da particular fração que tomamos como representante do racional r. EXEMPLO Sejam a > 0 e b > 0 dois reais quaisquer e r, s dois racionais quaisquer. Das propriedades das potências com expoentes inteiros e das raízes seguem as seguintes propriedades das potências com expoentes racionais e cujas demonstrações são deixadas como exercícios: ar · as = ar + s. (ar)s = ars. (ab)r = arbr. Se a > 1 e r < s, então ar < as. Se 0 < a < 1 e r < s, então ar > as. FUNÇÕES FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL A VALORES REAIS Entendemos por uma função f uma terna (A, B, a ↦ b) em que A e B são dois conjuntos e a ↦ b, uma regra que nos permite associar a cada elemento a de A um único b de B. O conjunto A é o domínio de f e indica- se por Df, assim A = Df. O conjunto B é o contradomínio de f. O único b de B associado ao elemento a de A é indicado por f(a) (leia: f de a); diremos que f (a) é o valor que f assume em a ou que f (a) é o valor que f associa a a. Uma função f de domínio A e contradomínio B é usualmente indicada por f : A ↦ B (leia: f de A em B). Uma função de uma variável real a valores reais é uma função f : A ↦ B, em que A e B são subconjuntos de ℝ. Até menção em contrário, só trataremos com funções de uma variável real a valores reais. Seja f : A ↦ B uma função. O conjunto Gf = {(x, f (x)) | x ∈ A} denomina-se gráfico de f; assim, o gráfico de f é um subconjunto do conjunto de todos os pares ordenados (x, y) de números reais. Munindo-se o plano de um sistema ortogonal de coordenadas cartesianas, o gráfico de f pode então ser pensado como o lugar geométrico descrito pelo ponto (x, f (x)) quando x percorre o domínio de f.