Demonstração (do Teorema do Confronto).

O Teorema do Confronto é um importante resultado da matemática que é utilizado para demonstrar a existência de limites de funções. A ideia básica do teorema é que, se duas funções se aproximam de um mesmo limite em um determinado ponto, então uma terceira função que está entre elas também se aproxima desse mesmo limite. A demonstração do Teorema do Confronto pode ser feita da seguinte forma: Suponha que f(x), g(x) e h(x) sejam funções definidas em um intervalo aberto contendo um ponto c, exceto talvez em c mesmo. Suponha também que f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) para todo x nesse intervalo, exceto talvez em c mesmo. Se lim f(x) = lim h(x) = L, então lim g(x) = L. Para provar isso, considere ε > 0. Como lim f(x) = L, existe δ1 > 0 tal que |f(x) - L| < ε para todo x no intervalo (c - δ1, c + δ1) - {c}. Da mesma forma, como lim h(x) = L, existe δ2 > 0 tal que |h(x) - L| < ε para todo x no intervalo (c - δ2, c + δ2) - {c}. Agora, considere o intervalo (c - δ, c + δ), onde δ = min{δ1, δ2}. Para todo x nesse intervalo, temos: f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) |g(x) - L| ≤ |f(x) - L| + |h(x) - L| |g(x) - L| < 2ε Isso mostra que lim g(x) = L, como queríamos demonstrar.