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CÁLCULO DIFERENCIAL
E
INTEGRAL
Notas de aula para o Curso de Tecnologia em Mecatrônica
Prof.
a
Paula Francis Benevides
2006
Ministério da Educação
Universidade Tecnológica Federal do Paraná
Campus Curitiba
Gerência de Ensino e Pesquisa
Departamento Acadêmico de Matemática
Conteúdo
AULA 1 ............................................................................................................................. 7
1 - FUNÇÕES ..................................................................................................................... 7
1.1 CONCEITO MATEMÁTICO DE FUNÇÃO .................................................................................. 7
1.2 DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO .................................................................................................... 8
1.3 NOTAÇÃO DE FUNÇÃO ..................................................................................................... 9
1.4 DOMÍNIO, CONTRADOMÍNIO E IMAGEM DE UMA FUNÇÃO ..................................................... 10
1.5 FUNÇÃO COMPOSTA ..................................................................................................... 11
1.6 FUNÇÃO INVERSA ......................................................................................................... 12
1.6.1 Determinação da Função Inversa ........................................................................ 12
AULA 2 ........................................................................................................................... 14
2. FUNÇÃO POLINOMIAL............................................................................................. 14
2.1 FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1O GRAU ................................................................................... 14
2.1.1 Função linear........................................................................................................ 14
2.1.2 Gráfico de uma função polinomial do 1o grau ..................................................... 15
2.1.3 Determinação de uma função a partir do gráfico ............................................... 15
2.1.4 Crescimento e decrescimento de uma função polinomial do 1o grau ................. 16
2.1.5 Estudo do sinal da função polinomial do 1o grau ................................................ 17
2.1.5.1 Zero de uma função polinomial do 1o grau .................................................................................................. 17
2.1.5.2 Quadro de sinais da função polinomial do 1o grau ...................................................................................... 18
2.2 INEQUAÇÕES DO 1O GRAU .............................................................................................. 18
2.2.1 Resolução de inequações do 1o grau ................................................................... 19
2.2.2 Sistemas de inequações do 1o grau ..................................................................... 19
2.2.3 Inequação-produto e inequação-quociente......................................................... 20
AULA 3 ........................................................................................................................... 23
2.3 FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2O GRAU ................................................................................... 23
2.3.1 Gráfico de uma função quadrática ...................................................................... 23
2.3.2 Concavidade ......................................................................................................... 23
2.3.3 Zeros de uma função quadrática ......................................................................... 24
2.3.4 Vértice da parábola ............................................................................................. 24
2.3.5 Gráfico de uma parábola ..................................................................................... 25
2.3.6 Estudo do sinal da função quadrática ................................................................. 26
2.4 INEQUAÇÕES DO 2O GRAU .............................................................................................. 26
2.4.1 Resolução de inequações do 2o grau ................................................................... 27
2.4.2 Sistemas de inequações do 2o grau ..................................................................... 28
2.4.3 Inequação-produto e inequação-quociente......................................................... 29
AULA 4 ........................................................................................................................... 32
3. FUNÇÃO EXPONENCIAL ........................................................................................... 32
3.1 REVISÃO DE POTENCIAÇÃO ............................................................................................. 32
3.1.1 Potências com expoente natural ......................................................................... 32
3.1.2 Potências com expoente inteiro ........................................................................... 32
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
3
3.1.3 Potências com expoente racional ........................................................................ 32
3.1.4 Potências com expoente real ............................................................................... 32
3.1.4.1 Propriedades ................................................................................................................................................. 32
3.2 EQUAÇÕES EXPONENCIAIS .............................................................................................. 33
3.2.1 Resolução de equações exponenciais .................................................................. 34
3.2.2 Resolução de equações exponenciais com o uso de artifícios ............................. 35
3.3 FUNÇÃO EXPONENCIAL................................................................................................... 35
3.3.1 Gráfico da função exponencial no plano cartesiano ........................................... 35
3.3.2 Características da função exponencial ................................................................ 36
3.4 INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS ............................................................................................ 37
3.4.1 Resolução de inequações exponenciais ............................................................... 37
AULA 5 ........................................................................................................................... 39
4. FUNÇÃO LOGARÍTMICA........................................................................................... 39
4.1 DEFINIÇÃO DE LOGARITMO ............................................................................................. 39
4.2 CONSEQÜÊNCIAS DA DEFINIÇÃO ....................................................................................... 39
4.3 PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS .................................................................................... 40
4.4 COLOGARITMO ............................................................................................................. 40
4.5 MUDANÇA DE BASE ....................................................................................................... 40
4.6 FUNÇÃO LOGARÍTMICA .................................................................................................. 42
4.6.1 Gráfico da função logarítmica no plano cartesiano ............................................ 42
4.7 INEQUAÇÕES LOGARÍTMICAS ...........................................................................................43
AULA 6 ........................................................................................................................... 45
5. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS ................................................................................ 45
5.1 SENO E COSSENO DE UM ARCO: ....................................................................................... 45
5.1.1 Conseqüências: .................................................................................................... 45
5.1.2 Função seno e função cosseno ............................................................................. 45
5.1.3 Gráfico das funções seno e cosseno..................................................................... 45
5.1.3.1 Função seno: .................................................................................................................................................. 45
5.1.3.2 Conclusões ..................................................................................................................................................... 46
5.1.3.3 Seno é função ímpar ..................................................................................................................................... 46
5.1.3.4 Função cosseno ............................................................................................................................................. 46
5.1.3.5 Conclusões ..................................................................................................................................................... 46
5.1.3.6 Cosseno é função par .................................................................................................................................... 47
5.2 TANGENTE DE UM ARCO ................................................................................................. 47
5.2.1 Conseqüências ..................................................................................................... 48
5.2.2 Função tangente .................................................................................................. 48
5.2.3 Gráfico da função tangente ................................................................................. 48
5.2.4 Conclusões ........................................................................................................... 48
5.2.5 Tangente é uma função ímpar ............................................................................. 49
5.3 COTANGENTE DE UM ARCO ............................................................................................. 49
5.3.1 Conseqüências ..................................................................................................... 49
5.3.2 Função cotangente .............................................................................................. 49
5.3.3 Gráfico da função cotangente ............................................................................. 50
5.3.4 Conclusões ........................................................................................................... 50
5.3.5 Cotangente é uma função ímpar ......................................................................... 50
5.4 SECANTE E COSSECANTE DE UM ARCO ............................................................................... 50
5.4.1 Função secante e cossecante ............................................................................... 51
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
4
5.4.2 Gráfico da função secante ................................................................................... 51
5.4.3 Conclusões ........................................................................................................... 51
5.4.4 Gráfico da função cossecante .............................................................................. 52
5.4.5 Conclusões ........................................................................................................... 52
5.5 RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS ......................................................................................... 52
5.5.1 Usando o teorema de Pitágoras .......................................................................... 53
5.5.2 Usando semelhança entre triângulos .................................................................. 53
5.5.3 Identidades trigonométricas ................................................................................ 54
5.5.3.1 Processo para demonstrar identidades........................................................................................................ 55
AULA 7 ........................................................................................................................... 58
6. LIMITES ................................................................................................................... 58
6.1 NOÇÃO INTUITIVA:........................................................................................................ 58
6.1.1 Propriedades: ....................................................................................................... 58
AULA 8 ........................................................................................................................... 62
6.2 LIMITES INFINITOS: .................................................................................................. 62
6.2.1 Igualdades Simbólicas: ......................................................................................... 62
6.2.1.1 Tipo Soma: ..................................................................................................................................................... 62
6.2.1.2 Tipo Produto: ................................................................................................................................................. 62
6.2.1.3 Tipo Quociente: ............................................................................................................................................. 62
6.2.1.4 Tipo Potência: ................................................................................................................................................ 62
AULA 9 ........................................................................................................................... 65
6.3 LIMITES TRIGONOMÉTRICOS: .................................................................................. 65
AULA 10.......................................................................................................................... 68
6.4 LIMITES DE FUNÇÃO EXPONENCIAL E LOGARÍTMICAS: ........................................... 68
AULA 11.......................................................................................................................... 71
6.5 LIMITES LATERAIS: ................................................................................................... 71
AULA 12.......................................................................................................................... 73
7. ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS E VERTICAIS ................................................................. 73
7.1 INTRODUÇÃO: ......................................................................................................... 73
7.2 ASSÍNTOTA VERTICAL .............................................................................................. 73
7.3 ASSÍNTOTA HORIZONTAL ........................................................................................ 73
8. FUNÇÕES CONTÍNUAS ............................................................................................. 74
8.1 DEFINIÇÃO: ..............................................................................................................74
AULA 13.......................................................................................................................... 77
9. DERIVADAS ............................................................................................................. 77
9.1 INTRODUÇÃO: ......................................................................................................... 77
9.2 DETERMINAÇÃO DO COEFICIENTE ANGULAR DA RETA TANGENTE AO GRÁFICO DE
UMA FUNÇÃO EM UM DETERMINADO PONTO DESTE GRÁFICO: ................................................... 77
9.3 DEFINIÇÃO: .............................................................................................................. 79
9.3.1 Outras notações para a função derivada: ........................................................... 80
9.4 SIGNIFICADO FÍSICO DA DERIVADA; ........................................................................ 80
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5
9.5 REGRAS DE DERIVAÇÃO: .......................................................................................... 82
9.5.1 Derivada de função Algébrica: ............................................................................. 83
AULA 14.......................................................................................................................... 85
9.5.2 Derivada de Funções Exponenciais e Logarítmicas: ............................................ 85
AULA 15.......................................................................................................................... 87
9.5.3 Derivada de Funções Trigonométricas: ............................................................... 87
AULA 16.......................................................................................................................... 89
9.6 DERIVADAS SUCESSIVAS .......................................................................................... 89
9.7 REGRAS DE L’HOSPITAL ........................................................................................... 89
AULA 17.......................................................................................................................... 92
9.8 APLICAÇÃO DAS DERIVADAS.................................................................................... 92
9.8.1 Taxas de Variação Relacionadas ......................................................................... 92
9.8.2 Máximos e Mínimos ............................................................................................. 93
9.8.2.1 Introdução: .................................................................................................................................................... 93
9.8.2.2 Determinação dos Máximos e Mínimos locais: ........................................................................................... 95
9.8.2.3 Crescimento e Decrescimento de funções: .................................................................................................. 95
9.8.2.4 Teste da Derivada Primeira: .......................................................................................................................... 96
9.8.2.5 Concavidade e Teste da Derivada Segunda: ................................................................................................ 97
AULA 18.......................................................................................................................... 99
10. INTEGRAIS ........................................................................................................... 99
10.1 INTRODUÇÃO: ......................................................................................................... 99
10.1.1 NOTAÇÃO: .......................................................................................................... 99
10.2 INTEGRAIS IMEDIATAS ............................................................................................. 99
AULA 19........................................................................................................................ 107
10.3 INTEGRAIS POR PARTES ......................................................................................... 107
AULA 20........................................................................................................................ 110
10.4 INTEGRAÇÃO COM APLICAÇÃO DE IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS ................ 110
AULA 21........................................................................................................................ 115
10.5 INTEGRAÇÃO POR FRAÇÕES PARCIAIS ................................................................... 115
AULA 22........................................................................................................................ 120
10.6 INTEGRAL DEFINIDA: ............................................................................................. 120
10.6.1 INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA: ...................................................................... 121
10.6.2 PROPRIEDADES DAS INTEGRAIS DEFINIDAS .................................................... 122
AULA 23........................................................................................................................ 124
10.6.3 APLICAÇÕES DE INTEGRAL DEFINIDA............................................................... 124
10.6.3.1 CÁLCULO DE ÁREAS DE UMA REGIÃO PLANA .......................................................................................... 124
10.6.3.2 ÁREA DA REGIÃO LIMITADA POR DUAS FUNÇÕES: ................................................................................. 127
AULA 24........................................................................................................................ 130
10.6.3.3 VOLUME DE UM SÓLIDO DE REVOLUÇÃO: .............................................................................................. 130
AULA 25........................................................................................................................ 132
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6
11. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS................................................................................... 132
11.1 INTRODUÇÃO......................................................................................................... 132
11.2 DEFINIÇÃO ................................................................................................................ 133
11.3 CLASSIFICAÇÃO ........................................................................................................... 133
11.3.1 Tipo: ................................................................................................................. 133
11.3.2 Ordem: ............................................................................................................. 133
11.3.3 Grau: ................................................................................................................ 134
11.3.4 Linearidade: ..................................................................................................... 134
11.4 ORIGEM DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS: .......................................................................... 135
AULA 26........................................................................................................................ 138
11.5 RESOLUÇÃO ............................................................................................................... 138
11.5.1 Curvas Integrais: ..............................................................................................138
11.5.2 Solução: ............................................................................................................ 138
11.5.3 Problema de Valor Inicial (PVI) ........................................................................ 139
11.5.4 Teorema da Existência de uma única solução ................................................. 140
11.6 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS AUTÔNOMAS ........................................................................... 141
11.7 EQUAÇÕES DE PRIMEIRA ORDEM E PRIMEIRO GRAU ........................................... 143
11.7.1 Equações de variáveis separáveis .................................................................... 143
11.7.1.1 Resolução: .................................................................................................................................................. 143
AULA 27........................................................................................................................ 147
11.8 EQUAÇÕES HOMOGÊNEAS ............................................................................................ 147
11.8.1 Função Homogênea ......................................................................................... 147
11.8.2 Equação Homogênas ....................................................................................... 147
11.8.2.1 Resolução: .................................................................................................................................................. 148
AULA 28........................................................................................................................ 150
11.9 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS EXATAS .................................................................................. 150
11.9.1 Fator Integrante ............................................................................................... 152
AULA 29........................................................................................................................ 155
11.10 EQUAÇÕES LINEARES: ................................................................................................. 155
11.10.1 Fator Integrante: ............................................................................................ 155
11.10.2 Substituição ou de Lagrange: ........................................................................ 157
AULA 30........................................................................................................................ 160
11.11 EQUAÇÕES NÃO LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM REDUTÍVEIS A LINEARES: .............................. 160
11.11.1 Equações de Bernoulli: ................................................................................... 160
AULA 31........................................................................................................................ 163
11.11.2 Equação de Ricatti ......................................................................................... 163
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1
2
3
4
5
6
y
x
7
8
9
10
AULA 1
1 - FUNÇÕES
1.1 CONCEITO MATEMÁTICO DE FUNÇÃO
Definição 1: Domínio da função é o conjunto de todos os valores dados para a variável
independente.
Definição 2: Imagem da função é o conjunto de todos os valores correspondentes da
variável dependente.
Como, em geral, trabalhamos com funções numéricas, o domínio e a imagem são conjuntos
numéricos, e podemos definir com mais rigor o que é uma função matemática utilizando a
linguagem da teoria dos conjuntos.
Para isso, temos que definir antes o que é um produto cartesiano e uma relação entre dois
conjuntos.
Definição 3: Produto cartesiano: Dados dois conjuntos não vazios
A
e
B
, denomina-se
produto cartesiano (indica-se:
A
B
) de
A
por
B
o conjunto formado pelos pares ordenados nos
quais o primeiro elemento pertence a
A
e o segundo pertence a
B
.
A
B
{(
x
,
y
)/
x
A
e
y
B
}.
Definição 4: Relação: Dados dois conjuntos
A
e
B
, dá-se o nome de relação
r
de
A
em
B
a qualquer subconjunto de
A
B
.
r
é relação de
A
em
B
r
A
B
.
Exemplo:
Sejam os conjuntos
A
{0,1,2,3},
B
{0,2,4,6,8,10} e a relação
r
de
A
em
B
, tal que
y
2
x
,
x
A
e
y
B
. Escrever os elementos dessa relação
r
.
Como
x
A
:
x
0
y
0 (0,0)
A
B
;
x
1
y
2 (1,2)
A
B
;
x
2
y
4 (2,4)
A
B
;
x
3
y
6 (3,6)
A
B
.
Então,
r
{(0,0), (1,2), (2,4), (3,6)}.
Representação da relação por diagrama. Representação da relação por sistema cartesiano.
0
0A B
1
2
3
2
4
6
8
10
r
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8
0
A B
2
5
0
2
5
10
20
-2
Obs.: Podemos observar que, numa relação
r
de
A
em
B
, o conjunto
r
é formado pelos
pares (
x
,
y
) em que o elemento
x
A
é associado ao elemento
y
B
mediante uma lei de
associação (no caso,
y
2
x
).
1.2 DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO
Definição 5: Sejam
A
e
B
dois conjuntos não vazios e
f
uma relação de
A
em
B
. Essa
relação
f
é uma função de
A
em
B
quando a cada elemento
x
do conjunto
A
está associado um
e apenas um elemento
y
do conjunto
B
.
Nos exercícios a seguir, verifique se as relações representam função de
A
em
B
. Juntifique
sua resposta e apresente o diagrama da relação.
Exemplos:
1) Dados os conjuntos
A
{0,5,15} e
B
{0,5,10,15,20,25}, seja a relação de
A
em
B
expressa pela fórmula
y
x
5, com
x
A
e
y
B
.
x
0
y
5 (0,5)
A
B
;
x
5
y
10 (5,10)
A
B
;
x
15
y
20 (15,20)
A
B
.
Todos os elementos de
A
estão associados a elementos de
B
.
A cada elemento de
A
está associado um único elemento de
B
.
Neste caso, a relação de
A
em
B
expressa pela fórmula
y
x
5 é uma função de
A
em
B
.
2) Dados os conjuntos
A
{2,0,2,5} e
B
{0,2,5,10,20}, seja a relação de
A
em
B
expressa pela fórmula
y
x
, com
x
A
e
y
B
.
x
0
y
0 (0,0)
A
B
;
x
2
y
2 (2,2)
A
B
;
x
5
y
5 (5,5)
A
B
.
O elemento 2 de
A
não está associado a nenhum elemento de
B
.
Neste caso, a relação de
A
em
B
não é uma função de
A
em
B
.
0
0A B
5
15
5
10
15
20
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9
3) Dados os conjuntos A {3,1,1,3} e B {1,3,6,9}, seja a relação de
A
em
B
expressa
pela fórmula
2xy
, com
Ax
e
By
x
3
y
9 (3,9)
A
B
;
x
1
y
1 (1,1)
A
B
;
x
1
y
1 (1,1)
A
B
;
x
3
y
9 (3,9)
A
B
.
Todos os elementos de
A
estão associados a elementos de
B
.
A cada elemento de
A
está associado um único elemento de
B
.
Neste caso, a relação de
A
em
B
expressa pela fórmula
y
2x
é uma função de
A
em
B
.
4) Dados os conjuntos A {16,81} e B {2,2,3}, seja a relação de A em B expressa pela
fórmula
xy 4
, com
Ax
e
By
.
x
16
y
2 ou
y
2 (16,2) e (16,2)
A
B
;
x
81
y
3 (81,3)
A
B
.
Todos os elementos de
A
estão associados a elementos de
B
.
O elemento 16 do conjunto
A
está associado a dois elementos do conjunto
B
.
Neste caso, a relação de
A
em
B
não é uma função de
A
em
B
.
1.3 NOTAÇÃO DE FUNÇÃO
Quando temos uma função de
A
em
B
, podemos representá-la da seguinte forma:
f
:
A
B
(lê-se: função de
A
em
B
)
x
y
(lê-se: a cada valor de
x
A
associa-se um só valor
y
B
)
A letra
f
, em geral, dá o nome às funções, mas podemos ter também a função
g
,
h
, etc.
Numa função
g
:
R
R
, dada pela fórmula
y
2x 8, podemos também escrever
g
(
x
) 2x
8. Neste caso,
g
(
2
) significa o valor de
y
quando
x
2
, ou
g
(
2
)6.
A B
1
3
1
3
6
9
-3
-1
A B
81
-2
2
3
16
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10
A B
0
2
0
1
2
3
4
-3
-1
-1
1.4 DOMÍNIO, CONTRADOMÍNIO E IMAGEM DE UMA FUNÇÃO
Uma função
f
com domínio
A
e imagens em
B
será denotada por:
f
:
A
B
(função que associa valores do conjunto
A
a valores do conjunto
B
)
x
y
f
(
x
) (a cada elemento
x
A
corresponde um único
y
B
)
O conjunto
A
é denominado domínio da função, que indicaremos por
D
. O domínio da
função também chamado campo de definição ou campo de existência da função, serve para definir
em que conjunto estamos trabalhando, isto é, os valores possíveis para a variável
x
.
O conjunto
B
é denominado contradomínio da função, que indicaremos por
CD
. É no
contradomínio que estão os elementos que podem corresponder aos elementos do domínio.
Cada elemento
x
do domínio tem um correspondente
y
no contradomínio. A esse valor de
y
damos o nome de imagem de
x
pela função
f
. O conjunto de todos os valores de
y
que são
imagens de valores de
x
forma o conjunto imagem da função, que indicaremos por
Im
. Note que o
conjunto imagem da função é um subconjunto do contradomínio da mesma.
f
:
A
B
x
y
f
(
x
)
D
A
,
CD
B
,
Im
{
y
CD
/
y
é correspondente de algum valor de
x
}.
Exemplos:
1) Dados os conjuntos
A
{3,1,0,2} e
B
{1,0,1,2,3,4}, determinar o conjunto imagem
da função
f
:
A
B
definida por
f
(
x
)
x
2.
f
(3)(3)21
f
(1)(1)21
f
(0)(0)22
f
(2)(2)24
Im
{1,1,2,4}
2) Dada a função
f
:
R
R
definida por
f
(
x
)
a x
b
, com
a
,
b
R
, calcular
a
e
b
,
sabendo que
f
(1)4 e
f
(1)2.
A lei de formação da função é
f
(
x
)
a x
b
ou
y
a x
b
.
f
(1)4
x
1 e
y
4 4
a
1
b
(i)
f
(1)2
x
1 e
y
2 2
a
(1)
b
(ii)
De (i) e (ii), temos:
b
1 e
a
3
a
3 e
b
1
f
(
x
)3
x
1.
a
b
4
a
b
2
2
b
2
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
11
A B C
g
h
f
x
y z
1.5 FUNÇÃO COMPOSTA
Tome as funções
f
:
A
B
, definida por
f
(
x
)2
x
, e
g
:
B
C
, definida por
g
(
x
)
2x
.
Note que o contradomínio
B
da função
f
é o mesmo domínio da função
g
.
f
:
A
B
: a cada
x
A
associa-se um único
y
B
, tal que
y
2
x
.
g
:
B
C
: a cada
y
B
associa-se um único
z
C
, tal que
z
2y
.
Neste caso, podemos considerar uma terceira função,
h
:
A
C
, que faz a composição entre
as funções
f
e
g
:
h
:
A
C
: a cada
x
A
associa-se um único
z
C
, tal que
z
2y
22 )( x
4
2x
.
Essa função
h
de
A
em
C
, dada por
h
(
x
) 4
2x
, é denominada função composta de
g
e
f
.
De um modo geral, para indicar como o elemento
z
C
é determinado de modo único pelo
elemento
x
A
, escrevemos:
z
g
(
y
)
g
(
f
(
x
))
Notação:
A função composta de
g
e
f
será indicada por
g
f
(lê-se:
g
círculo
f
)
(
g
f
)(
x
)
g
(
f
(
x
))
Exemplos:
1) Sejam as funções reais
f
e
g
definidas respectivamente por
1)( xxf
e
32)( 2 xxg
. Determine:
a)
f
(
g
(
x
)).
f
(
g
(
x
))
f
(2 2x 3)2 2x 312 2x 2
f
(
g
(
x
)) 2 2x 2.
b)
g
(
f
(
x
)).
g
(
f
(
x
))
g
(
x
1)2
21)( x
32( 2x 2x 1)32 2x 4 x 232 2x 4 x 1
g
(
f
(
x
)) 2 2x 4 x 1.
c) Os valores de
x
para que se tenha
f
(
g
(
x
))
g
(
f
(
x
)).
f
(
g
(
x
))
g
(
f
(
x
))
2 2x 2=2 2x 4 x 1
2=4
x
1
4
x
12
x
4
1
.
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
12
3210
1
2
3
4
y
x
-1
-2
-1-2 4
f
f
-1
2) Sendo
f
(
x
)3
x
1 e
f
(
g
(
x
))6
x
8, determine
g
(
x
).
Como
f
(
x
)3
x
1, então
f
(
g
(
x
))3
g
(
x
)1.
Como
f
(
g
(
x
)) 6
x
8, então 3
g
(
x
)16
x
8.
3
g
(
x
)1 6
x
8
3
g
(
x
) 6
x
81
g
(
x
)
3
96 x
g
(
x
) 2
x
3.
1.6 FUNÇÃO INVERSA
Definição 6: Função bijetora: A função
f
é denominada BIJETORA, se satisfaz as duas
condições abaixo:
O contradomínio de
f
coincide com sua imagem, ou seja, todo elemento do contradomínio é
correspondente de algum elemento do domínio.
Cada elemento do contradomínio de
f
é imagem de um único elemento do domínio.
Definição 7: Diz-se que uma função
f
possui inversa
1f
se for bijetora.
1.6.1 DETERMINAÇÃO DA FUNÇÃO INVERSA
Caso a função seja bijetora, possuindo portanto inversa, é possível determinar a sua inversa.
Para isso ―trocamos‖ a variável
x
por
y
na lei que define a função e em seguida ―isolamos‖ o
y
,
obtendo a lei que define a função inversa.
É preciso apenas tomar certo cuidado com o domínio da nova função obtida.Exemplo:
1) Obter a lei da função inversa
1f
da função
f
dada por
y
x
2.
y
x
2 função .
x
y
2 trocando a variável
x
por
y
e
y
por
x
.
y
x
2 isolando
y
.
Então,
y
x
2 é a lei da função inversa da função dada por
y
x
2.
Logo:
f
(
x
)
x
2 e
1f
(
x
)
x
2
2) Construir os gráficos das funções
f
e
1f
do exercício anterior, num mesmo sistema de
coordenadas.
f
x
f
(
x
)
x
1f
(
x
) Note que os gráficos
das funções
f
e
1f
são simétricos em
relação à reta que
contém as bissetrizes
do 1
o
e 3
o
quadrantes.
1 1 1 1
0 2 2 0
1 3 3 1
2 4 4 2
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
13
3) Determinar a função inversa
1g
da função
g
(
x
)
32
5
x
x
, cujo domínio é
D
R
2
3
.
y
32
5
x
x
função
g
.
x
32
5
y
y
trocando a variável
x
por
y
e
y
por
x
.
(2
y
3)
x
y
5 isolando
y
.
2
x
y
3
x
y
5
y
(2
x
1)3
x
5
y
12
53
x
x
2
x
10
x
2
1
.
Logo,
1g
:
R
2
1
R
2
3
dada por
y
12
53
x
x
é a função inversa procurada.
AULA 1 - EXERCÍCIOS
1) Seja a relação de A = {0, 1, 3} em B = {0,
1, 2, 3, 4, 5} definida por g(x) = x
2
– 4x +
3. Faça o diagrama de g e verifique se g é
uma função de A em B. Em caso
afirmativo escreva o conjunto imagem.
2) Seja a função f de D = {1, 2, 3, 4, 5} em R
definida por f(x) = (x – 2)(x – 4).
Determine o seu conjunto imagem.
3) Sejam f e g funções reais definidas, para
todo o número real não nulo, por:
2
5
83)(
x
x
xxf
e
2331
3
5
)( 2
xx
x
xg
Se a e b são números reais distintos tais
que f(a) = g(a) e f(b) = g(b), calcule a + b
4) Considere a função f(x) real, definida por
f(1) = 43 e f(x + 1) = 2f(x) – 15. Determine
o valor de f(0)
5) Determine o domínio das seguintes
funções:
a)
54)( xxf
b)
1
3
)(
2
x
xf
c)
xy 21
d)
2
7
4
1
3
1
)(
x
x
xx
x
xf
6) Sendo
1
1
)(
x
xf
, x
1 e
42)( xxg
,
ache o valor de
2
1
))2(( fggf
.
7) Se
1
1
)(
x
xf
, qual o valor de x para que
f(f(x)) = 1?
8) Dada a função
5
62
)(
x
x
xf
com x
5.
calcule:
a) f
-1
(x)
b) f-1(4)
Respostas:
1) sim, Im{0, 3}
2) Im = {-1, 0, 3}
3) 3
4) 29
5) a) D = R
b) D = R – {-1, 1}
c)
2
1
| xRxD
d)
2,,43| xexRxD
6) – 9
7)
2
3
x
8) a)
2
65
x
x
b) 13
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
14
AULA 2
2. FUNÇÃO POLINOMIAL
Definição 8: Função polinomial com uma variável ou simplesmente função polinomial é
aquela cuja formulação matemática é expressa por um polinômio.
2.1 FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1O GRAU
A função polinomial do 1
o
grau é a que tem sua representação matemática por um polinômio
de grau 1.
Representação da função polinomial do 1
o
grau:
f
(
x
)
a
b
, com
a
,
b
R
(
a
0).
a
e
b
são os coeficientes e
x
a variável
independente.
Exemplo:
Em uma função polinomial do 1
o
grau,
y
f
(
x
), sabe-se que
f
(1)4 e
f
(2)10. Escreva
a função e calcule
f
2
1
.
Se é polinomial do 1
o
grau, então podemos escrever:
b
. Usando os dados do
problema:
f
(1)4 1 e 4. Então,
a
1
b
4
a
b
4 (i).
f
(2)10 2 e 10. Então,
a
(2)
b
10 2
a
b
10 (ii).
Resolvendo o sistema formado por (i) e (ii):
(i)
a
4
a
b
4
(ii) 2
a
b
10 (1) 2
a
b
10
3 a 6 a 2
Se
a
2, então 2
b
4
b
6.
A função
f
é dada por
f
(
x
)2
x
6.
Cálculo de
f
2
1
:
f
2
1
2
2
1
6 16 7
A função é
f
(
x
) 2
x
6 e
f
2
1
7.
2.1.1 FUNÇÃO LINEAR
Seja a função polinomial do 1
o
grau
f
(
x
)
a x
b
. No caso de
b
0, temos
f
(
x
)
a x
, e
ela recebe o nome especial de função linear.
x
f
f y
a x
x
y
x
y
b
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
15
3210
1
2
3
4
y
x
-1
-2
-1-2 4
5
-3
-4
-5
Obs.: Se, em uma função linear tivermos
a
1, teremos
f
(
x
)
x
ou
y
x
, que se dá o
nome de função identidade.
2.1.2 GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1O GRAU
Para construir o gráfico de uma função polinomial do 1
o
grau, atribuímos valores do
domínio à variável
x
e calculamos as respectivas imagens.
Exemplo:
Construir o gráfico da função real
f
dada por
y
2
x
1.
x
y
Par ordenado
2 5 (2,5)
1 3 (1,3)
0 1 (0,1)
1 1 (1,1)
2 3 (2,3)
3 5 (3,5)
Definição 9: O gráfico da função linear
y
a x
(
a
0) é sempre uma reta que passa pela
origem do sistema cartesiano.
Definição 10: O gráfico da função polinomial do 1
o
grau
y
a x
b
(
a
0) intercepta o
eixo das ordenadas no ponto (0,
b
).
2.1.3 DETERMINAÇÃO DE UMA FUNÇÃO A PARTIR DO GRÁFICO
Nos exercícios abaixo, determine a lei de formação da função
f
(
x
)
a x
b
.
Exemplo:
1) Determine a lei de formação da função
f
, cujo gráfico cartesiano é:
3210
1
2
3
4
y
x
-1
-2
-1-2 4
5
-3
-4
-5
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
16
Sabendo-se que
y
a x
b
, do gráfico, temos que:
x
1 e
y
1 1
a
(1)
b
a
b
1 (i).
x
1 e
y
3 3
a
(1)
b
a
b
3 (ii).
(i)
a
b
1
(ii)
a
b
3
2
b
2
b
1
Se
b
1, então
a
b
3
a
13
a
2
Logo:
A função é
f
(
x
)2
x
1.
2) Determine a lei de formação da função
f
, cujo gráfico cartesiano é:
Sabendo-se que
y
a x
b
, do gráfico, temos que:
x
1 e
y
1 1
a
(1)
b
a
b
1 (i).
x
2 e
y
2 2
a
(2)
b
2
a
b
2 (ii).
(i)
a
b 1 (1)
a
b
1
(ii) 2
a
b 2 2
a
b
2
a 3 a 3
Se
a
3, então 3
b
1
b
4
Logo:
A função é
f
(
x
)3
x
4.
2.1.4 CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO DE UMA FUNÇÃO POLINOMIAL DO
1
O
GRAU
Seja
f
a função polinomial do 1
o
grau definida por
f
(
x
)
a x
b
.
Podemos determinar que:
i) A função
f
é crescente se o coeficiente
a
0;
ii) A função
f
é decrescente se o coeficiente
a
0.
Exemplo:
3210
1
2
3
4
y
x
-1
-2
-1-2 4
5
-3
-4
-5
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
17
Construir os gráficos das funções
f
e
g
do 1
o
grau a seguir:
i)
f
(
x
)2
x
1 ii)
g
(
x
)2
x
1
i) Aumentando os valores atribuídos a
x
, aumentam também os valores
correspondentes da imagem
f
(
x
).
ii) Aumentando os valores atribuídos a
x
,
diminuem os valores correspondentes da
imagem
g
(
x
).
2.1.5 ESTUDO DO SINAL DA FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1O GRAU
Definição 11: Estudar o sinal de uma função
f
significa determinar para que valores de
x
temos
f
(
x
)0,
f
(
x
)0 ou
f
(
x
)0.
2.1.5.1 Zero de uma função polinomial do 1o grau
Definição 12: Denomina-se zero ou raiz da função
f
(
x
)
a x
b
o valor de
x
que anula a
função, isto é, torna
f
(
x
)0.
Definição 13: Geometricamente, o zero da função polinomial do 1
o
grau
f
(
x
)
a x
b
,
a
0, é a abscissa do ponto em que a reta corta o eixo
x
.
Exemplo:
Dada a lei de formação da função
y
2
x
4, construir o gráfico e determinar os valores
reais de
x
para os quais: a)
y
0; b)
y
0 e c)
y
0.
Podemos notar que a função é decrescente, pois
a
0.
O zero da função é: 2
x
40 2
x
4 2
x
4
2x
.
Logo, a reta intercepta o eixo
x
no ponto de abscissa
2x
.
A solução do problema é:
a)
f
(
x
)0 {
x
R
;
x
2};
b)
f
(
x
)0 {
x
R
;
x
2};
c)
f
(
x
)0 {
x
R
;
x
2}.
3210
1
2
3
4
y
x
-1
-2
-1-2 4
5
-3
-4
-5
3210
1
2
3
4
y
x
-1
-2
-1-2 4
5
-3
-4
-5
3210
1
2
3
4
y
x
-1
-2
-1-2 4
5
-3
-4
-5
5-3-4-5
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
18
2.1.5.2 Quadro de sinais da função polinomial do 1o grau
f
(
x
)
a x
b
,
a
0
Zero da função:
a x
b
0
x
a
b
a
0
a
0
f
(
x
) 0
x
a
b
f
(
x
) 0
x
a
b
f
(
x
) 0
x
a
b
f
(
x
) 0
x
a
b
f
(
x
) 0
x
a
b
f
(
x
) 0
x
a
b
2.2 INEQUAÇÕES DO 1O GRAU
Definição 14: Denomina-se inequação do 1
o
grau na variável
x
toda desigualdade que pode
ser reduzida a uma das formas:
a x
b
0;
a x
b
0;
a x
b
0;
a x
b
0.
com
a
,
b
R
e
a
0.
Exemplo:
Verificar se 4(
x
1) 2x 3 x x ( x 1) é uma inequação do 1
o
grau.
4(
x
1) 2x 3 x x ( x 1)
4
x
4 2x 3 x 2x x
4
x
3
x
x
40
2
x
40
Logo, 2
x
4 é um polinômio do 1o grau, então 4(
x
1) 2x 3 x x ( x 1) é uma inequação
do 1
o
grau.
x
xf ( )>0xf ( )<0
x
a
b
a
b
a
xb
xf ( )<0xf ( )>0
x
a
b
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
19
2.2.1 RESOLUÇÃO DE INEQUAÇÕES DO 1O GRAU
Definição 15: Para se resolver uma inequação do 1
o
grau, são utilizadas as propriedades das
desigualdades, apresentando-se o conjunto verdade da inequação (conjunto solução S).
Exemplos:
1) Resolver a inequação seguinte: 4(
x
1)
2x
3
x
x
(
x
1). Represente a solução na reta real.
4(
x
1)
2x
3
x
x
(
x
1)
4
x
4
2x
3
x
2x
x
4
x
3
x
x
40
2
x
4
x
2
S{
x
R
;
x
2}
2) Resolver a inequação seguinte:
3
1x
2
14 )( x
4
x
6
2 x
. Represente a solução na reta real.
3
1x
2
14 )( x
4
x
6
2 x
Reduzindo os dois membros ao menor denominador comum:
12
242444 xx
12
243 xx
Simplificando:
20
x
20
x
4
20
x
x
204
21
x
16
Multiplicando por (1):
21
x
16
x
21
16
S{
x
R
;
x
21
16
}
2.2.2 SISTEMAS DE INEQUAÇÕES DO 1O GRAU
Definição 16: O conjunto solução S de um sistema de inequações é determinado pela
intersecção dos conjuntos soluções de cada inequação do sistema.
Exemplo:
Resolver a inequação 12
x
3
x
. Apresente o conjunto solução S e represente na reta
real.
Na verdade, resolver essa inequação simultânea é equivalente a resolver o sistema:
(i) 1 2
x
3 (i)
x
1
(ii) 2
x
3
x
(ii)
x
3
x
2
x
16
21
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
20
S{
x
R
; 1
x
3}
2.2.3 INEQUAÇÃO-PRODUTO E INEQUAÇÃO-QUOCIENTE
Uma inequação do 2
o
grau do tipo
2x
2
x
80 pode ser expressa por um produto de
inequações do 1
o
grau, fatorando o 1
o
membro da desigualdade:
2x
2
x
8 0 (
x
2)(
x
4) 0.
Definição 17:
RESOLUÇÃO: Para resolver uma inequação-produto ou uma inequação-quociente, fazemos
o estudo dos sinais das funções polinomiais do 1
o
grau envolvidas. A seguir, determinamos o sinal
do produto ou quociente dessas funções, lembrando as regras de sinais do produto e do quociente de
números reais.
Exemplos:
1) Resolver a inequação (
2x
x
2)(
x
2) 0.
(
2x
x
2)(
x
2)0 (
x
2)(
x
1)(
x
2) 0
f(x)
x
2 f(x) 0
x
2 a 0
g(x)
x
1 g(x) 0
x
1 a 0
h(x)
x
2 h(x) 0
x
2 a 0
S{
x
R
; 2
x
1 ou
x
2}
2) Resolver a inequação
2
13
x
x
0.
f(x) 3
x
1 f(x) 0 1/3 a < 0
g(x)
x
2 g(x) 0
x
2 a < 0
x
x
x
1 3
(i)
(ii)(i)
(ii)
x
-2 2
( )g
x( )f
x( )h
x( )x( )x( )f g h
1
x
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
21
S{
x
R
;
3
1
x
2}
3) Resolvera inequação
2
92
x
x 0.
2
92
x
x 0
2
33
x
xx )()(
0
f(x)
x
3 f(x) 0
x
3 a 0
g(x)
x
3 g(x) 0
x
3 a 0
h(x)
x
2 h(x) 0
x
2 a 0
S{
x
R
;
x
3 ou 2
x
3}
4) Determine o domínio da função
y
5
322
x
xx .
5
322
x
xx 0
5
13
x
xx )()(
0
f(x)
x
3 f(x) 0
x
3 a 0
g(x)
x
1 g(x) 0
x
1 a 0
h(x)
x
5 h(x) 0
x
5 a 0
D{
x
R
; 3
x
1 ou
x
5}
x
2
( )g
x( )f
x( )
x( )f
g 1
3
x
-3 3
( )g
x( )f
x( )h
x( )
x( )x( )f g
h 2
x
-3 5
( )g
x( )f
x( )h
x( )
x( )x( )f g
h 1
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
22
AULA 02 – EXERCÍCIOS
1) Dada a função f(x) = 5x – 2, determine:
a) f(2)
b) o valor de x para que f(x) = 0
2) Em uma função polinomial do 1
o
grau, y =
f(x), sabe-se que f(1) = 4 e f(-2) = 10. Escreva
a função f e calcule
2
1
f
3) Um vendedor recebe mensalmente um
salário composto de duas partes: uma parte
fixa, no valor de R$900,00 e uma variável,
que corresponde a uma comissão de 8% do
total de vendas que ele fez durante o mês.
a) Expressar a lei da função que representa
seu salário mensal
b) Calcular o salário do vendedor que
durante um mês ele vendeu R$ 50.000,00 em
produtos
4) Num determinado país, o gasto
governamental com educação, por aluno em
escola pública, foi de 3.000 dólares no ano de
1985, e de 3.600 dólares em 1993. Admitindo
que o gráfico do gasto por aluno em função
do tempo seja constituído de pontos de uma
reta:
a) Obtenha a lei que descreve o gasto por
aluno (y) em função do tempo (x),
considerando x = 0 para o ano de 1985, x = 1
para o ano de 1986, x = 2 para o ano de 1987
e assim por diante.
b) Em que ano o gasto por aluno será o
dobro do que era em 1985?
5) Considere as funções f e g definidas em R
por f(x) = 8 – x e g(x) = 3x
a) Ache as raízes das funções f e g
b) Sabendo que os gráficos de f e g são
retas concorrentes, calcule as coordenadas do
ponto de intersecção.
6) Resolver a inequação
0)31(214 xx
7) Determinar o conjunto verdade da
inequação:
6
2
42
)1(4
3
1 xxxx
8) Resolver o sistema
03
512
x
x
9) João possui um terreno de 1000m
2
, no qual
pretende construir uma casa. Ao engenheiro
responsável pela planta, ele impõe as
seguintes condições: a área destinada ao lazer
(piscina, churrasqueira, etc) deve ter 200m
2
, e
a área interna da casa mais a área de lazer
devem ultrapassar 50% da área total do
terreno; além disso, o custo para construir a
casa deverá ser de, no máximo, R$
200.000,00. Sabendo que o metro quadrado
construído nessa região custa R$ 500,00, qual
é a área interna da casa que o engenheiro
poderá projetar?
10) Determinar o domínio da função
3
1
x
x
y
Respostas:
1) a) 8
b) 2/5
2) f(x) = - 2x + 6 e f(-1/2) = 7
3) a) y = 900 + 0,08x
b) R$ 4900,00
4) a) y = 75x + 3000
b) 2025
5) a) 8 e 0
b) (2, 6)
6)
2
1
| xRxS
7)
21
16
| xRxS
8)
3| xRxS
9) entre 300m
2
e 400m
2
10)
31| xRxD
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
23
AULA 3
2.3 FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2O GRAU
Definição 18: A função
f
:
R
R
dada por
f
(
x
)
a
2x
b x
c
, com
a
,
b
e
c
reais e
a
0, denomina-se função polinomial do 2o grau ou função quadrática. Os números representados por
a
,
b
e
c
são os coeficientes da função. Note que se
a
0 temos uma função do 1o grau ou uma
função constante.
Exemplo:
Considere a função
f
do 2
o
grau, em que
f
(0)5,
f
(1)3 e
f
(1)1. Escreva a lei de
formação dessa função e calcule
f
(5).
Resolução
Tome
f
(
x
)
a
2x
b x
c
, com
a
0.
f
(0) 5
a
(0)
2
b
(0)
c
5
c
5 5
f
(1) 3
a
(1)
2
b
(1)
c
3
a
b
2 ( i)
f
(1) 1 (1)
2
b
(1)
c
1
a
b
4 ( ii)
Resolvendo o sistema formado por (i) e (ii):
(i)
a
b
2
(ii)
a
b
4
(i)(ii)
2
a
6
a
3
b
1
A lei de formação da função será
f
(
x
) 3 2x x 5
f
(5)3(5)2(5)5
f
(5)65.
2.3.1 GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA
O gráfico de uma função polinomial do 2
o
grau ou quadrática é uma curva aberta chamada
parábola.
Para evitar a determinação de um número muito grande de pontos e obter uma boa
representação gráfica, vamos destacar três importantes características do gráfico da função
quadrática:
(i) Concavidade (ii) Zeros ou raízes (iii) Vértice
2.3.2 CONCAVIDADE
A concavidade de uma parábola que representa uma função quadrática
f
(
x
)
a
2x
b x
c
do 2
o
grau depende do sinal do coeficiente
a
:
c
a
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
24
a
0: concavidade para CIMA
a
0: concavidade para BAIXO
CONCAVIDADE DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA
2.3.3 ZEROS DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA
Definição 19: Os zeros ou raízes da função quadrática
f
(
x
)
a
2x
b x
c
são as raízes da
equação do 2
o
grau
a
2x
b x
c
0, ou seja:
Raízes:
x
a
acbb
2
42 .
Considerando
2b
4
a c
, pode-se ocorrer três situações:
i) 0 as duas raízes são reais e diferentes:
1x
a
b
2
e
2x
a
b
2
.
ii) 0 as duas raízes são reais e iguais (raiz dupla):
1x
2x
a
b
2
.
iii) 0 não há raízes reais.
Obs.: Em uma equação do 2
o
grau
a
2x
b x
c
0, a soma das raízes é S e o produto é P tal
que: S
1x
2x
a
b
e P
1x
2x
a
c
.
Definição 20: Geometricamente, os zeros ou raízes de uma função polinomial do 2
o
grau
são as abscissa dos pontos em que a parábola intercepta o eixo
x
.
2.3.4 VÉRTICE DA PARÁBOLA
Considere as parábolas abaixo e observe o vértice
V
(
Vx
,
Vy
) em cada uma:
VÉRTICE DE PARÁBOLAS (0 PARA AS DUAS).
x
y
x
y
x2x1
x1 x2
V( ),xV yV
V( ),xV yV
Eixo de simetria
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25
Uma forma de se obter o vértice
V
(
Vx
,
Vy
) é:
Vx
2
21 xx , já que o vértice encontra-se no eixo de simetria da parábola;
Vy
a 2
Vx
b
Vx
c
, já que o
Vx
foi obtido acima.
Outra forma de se obter o vértice
V
(
Vx
,
Vy
) é aplicando as fórmulas:
Vx
a
b
2
e
Vy
a4
.
2.3.5 GRÁFICO DE UMA PARÁBOLA
Com o conhecimento das principais características de uma parábola, podemos esboçar com
mais facilidade o gráfico de uma função quadrática.
Exemplos:
1) Construir o gráfico da função
y
2x
2
x
, determinando sua imagem.
a
10 concavidade voltada para cima.
Zeros da função:
2x
2
x
0
x
(
x
2)0
1x
0 e
2x
2.
Ponto onde a
parábola corta o
eixo
y
:
x
0
y
0 (0,0)
Vértice da
parábola: Vx
a
b
2
2
2
1
V
(1,1)
Vy
a4
4
4
1
Imagem:
y
1 para todo
x
Real
Im
{
y
R
;
y
1}
2) Construir o gráfico da função
y
2x 4 x 5, determinando sua imagem.
a
1 0 concavidade voltada para baixo.
Zeros da função: 2x 4 x 50 4. zeros reais.
Ponto onde a
parábola corta o
eixo
y
:
x
0
y
5 (0,5)
Vértice da
parábola: Vx
a
b
2
2
4
2
V
(2,1)
Vy
a4
4
4
1
Imagem:
y
1 para todo
x
Real
Im
{
y
R
;
y
1}
3210
1
2
3
4
y
x
-1
-2
-1-2 4
5
-3
-4
-5
5-3-4-5
V
3210
1
2
3
4
y
x
-1
-2
-1-2 4
5
-3
-4
-5
5-3-4-5
V
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
26
2.3.6 ESTUDO DO SINAL DA FUNÇÃO QUADRÁTICA
Os valores reais de
x
que tornam a função quadrática positiva, negativa ou nula, podem ser
dados considerando-se os casos, relacionados na tabela abaixo.
f
(
x
)
a
2x
b x
c
com (
a
,
b
e
c
R
e
a
0)
a
0
a
0
f
(
x
)0 para
x
1x
ou
x
2x
f
(
x
)0 para
x
1x
ou
x
2x
f
(
x
)0 para
1x
x
2x
f
(
x
)0 para
1x
x
2x
f
(
x
)0 para
x
1x
ou
x
2x
(
x
)0 para
x
1x
ou
x
2x
f
(
x
)0 para
x
1x
f
(
x
)0 para
x
1x
f
(
x
)0
x
real
f
(
x
)0
x
real
f
(
x
)0 para
x
1x
2x
f
(
x
)0 para
x
1x
2x
f
(
x
)0
x
real
f
(
x
)0
x
real
f
(
x
)0
x
real
f
(
x
)0
x
real
f
(
x
)0
x
real
f
(
x
)0
x
real
2.4 INEQUAÇÕES DO 2O GRAU
Definição 21: Denomina-se inequação do 2
o
grau na variável
x
toda desigualdade que pode
ser reduzida a uma das formas:
a
2x
b x
c
0;
a
2x
b x
c
0;
xx2x1
x
x1 x2
f
xx2x1
x
x2x1
x
x
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27
a
2x
b x
c
0;
a
2x
b x
c
0.
com
a
,
b
,
c
R
e
a
0.
2.4.1 RESOLUÇÃO DE INEQUAÇÕES DO 2O GRAU
Definição 22: Para se resolver uma inequação do 2
o
grau, são utilizadas as propriedades das
desigualdades, apresentando-se o conjunto verdade da inequação (conjunto solução S).
Exemplo:
1) Resolver a inequação
2x
3
x
20.
Resolução
Estudar a variação do sinal da função
f
(
x
)
2x
3
x
2.
a
10 Concavidade para cima.
2x
3
x
20
10 Duas raízes reais diferentes.
x
2
13
1x
1
2x
2
S{
x
R
;
x
1 ou
x
2}. Obs: somente valores positivos.
2) Resolver a inequação 2x 10 x 250.
Resolução
Estudar a variação do sinal da função
f
(
x
) 2x 10 x 25.
10 Concavidade para cima.
2x
10
x
250
0 Raiz dupla (única).
1x
2x
2
10
x
5
S
R
. Obs: Todos os valores são positivos ou iguais a zero.
3) Resolver a inequação 2 2x 5 x 60.
Resolução
Estudar a variação do sinal da função
f
(
x
)2 2x 5 x 6.
a
20
Concavidade para
baixo.
2 2x 5 x 6 0
23 0 Não possui zeros reais.
x
real
S. Obs: Nunca se tem valores positivos ou iguais a zero.
x21
a
x
5
x
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28
2.4.2 SISTEMAS DE INEQUAÇÕES DO 2O GRAU
Definição 23: O conjunto solução S de um sistema de inequações é determinado pela
intersecção dos conjuntos soluções de cada inequação do sistema.
Exemplo:
1) Resolver o sistema de inequações
05
682 22
x
xxx
.
Resolução
(i) 2
2x
8
2x
6
x
2
2x
8
2x
6
x
0
2x
6
x
80.
(ii)
x
50.
Resolução de (i): Estudar a variação do sinal da função
f
(
x
)
2x
6
x
8.
a
1 0 Concavidade para cima.
2x
6
x
80
4 0
Duas raízes reais
diferentes.
x
2
26
1x
4
2x
2
S(i){
x
R
;
x
4 ou
x
2}. Reta real:
Resolução de (ii):
x
50
x
5.
S(ii){
x
R
;
x
5}. Reta real:
Intersecção entre (i) e (ii) (i)(ii):
S{
x
R
;
x
5}.
2) Resolver a inequação
x
4 2x 4 x 2.
Resolução
(i)
x
4 2x 4 x 4 2x 40 (1) 2x x 0.
(ii) 2x 4x 2 2x 4x 20 2x x 60.
Resolução de (i): Estudar a variação do sinal da função
f
(
x
) 2x x .
a
1 0 Concavidade para cima.
2x
x
0
x
(
x
1)0 Zeros{0,1}.
1 0 Duas raízes reais diferentes.
x
2
11
1
x
0
2x
1
S(i){
x
R
;
x
0 ou
x
1}. Reta real:
x-2-4
x-2-4
x-5
x-5
x-5
x-2-4(i)
(ii)
(i) (ii)
x10
x10
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
29
Resolução de (ii): Estudar a variação do sinal da função
g
(
x
)
2x
x
6.
a
1 0 Concavidade para cima.
2x
x
60
25 0 Duas raízes reais diferentes.
x
2
51
1x
2
2x
3
S(ii){
x
R
; 2
x
3}. Reta real:
Intersecção entre (i) e (ii) (i)(ii):
S{
x
R
; 2
x
0 ou 1
x
3}.
2.4.3 INEQUAÇÃO-PRODUTO E INEQUAÇÃO-QUOCIENTE
Definição 24:
RESOLUÇÃO: Para resolver uma inequação-produto ou uma inequação-quociente, fazemos
o estudo dos sinais das funções polinomiais envolvidas. A seguir, determinamos o sinal do produto
ou quociente dessas funções, lembrando as regras de sinais do produto e doquociente de números
reais.
Exemplos:
1) Resolver a inequação ( 2x 2 x 3)( 2x 3 x 4)0.
Resolução
S{
x
R
; 4
x
1 ou 1
x
3}.
x3-2
x3-2
x-2
x
x10(i)
(ii)
(i) (ii)
3
-2 0 1 3
x
-4
( )g
x( )f
x( )x( )f g
1 3-1
f(x)
2x
2
x
3 a 0 16 0
1x
1 e
2x
= 3
g(x) 2x 3 x 4 a 0 25 0 1x 4 e 2x = 1
f(x) g(x)
x3-1
x1-4
x3-1 x1-4
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30
2) Resolver a inequação
16
65
2
2
x
xx
0.
Resolução
f(x)
2x
5
x
6 a 0 1 0
1x
2 e
2x
3
g(x)
2x
16 a 0 64 0
1x
4 e
2x
4
f(x) g(x)
S{
x
R
;
x
4 ou 2
x
3 ou
x
4}.
3) Determine o domínio da função
f
(
x
)
6
1032
x
xx .
Resolução
f
só representa um número real se
6
1032
x
xx 0.
f(x)
2x
3
x
10 a 0 49 0
1x
2 e
2x
5
g(x)
x
6 a 0 g(x) = 0
x
6
f(x) g(x)
D
{
x
R
; 2
x
5 ou
x
6}.
x32 x4-4
x32 x4-4
x
-4
( )g
x( )f
x( )
x( )f
g 3 42
x5-2
x6
x5-2 x6
x
-2
( )g
x( )f
x( )
x( )f
g 5 6
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
31
AULA 03 – EXERCÍCIOS
1) Considere a função f do 20 grau, onde f(0)
= 5, f(1) = 3 e f(-1) = 1. Escreva a lei de
formação dessa função e calcule f(5).
2) Determine o valor de m para que a
parábola que representa graficamente a
função y = 3x
2
– x + m passe pelo ponto
(1, 6).
3) Determinar os zeros da função y = x2 – 4x
– 5.
4) Seja a função f(x) = x2 – 2x + 3k. Sabendo
que essa função possui dois zeros reais
iguais, determine o valor real de k.
5) A função f(x) = x2 + kx + 36 possui duas
raízes reais, m e n, de modo que
12
511
nm
. Determine o valor de f(-1)
nessa função.
6) Determinar as coordenadas do vértice V da
parábola que representa a função
135)( 2 xxxf
.
7) Determinar a e b de modo que o gráfico da
função definida por y = ax
2
+ bx – 9 tenha
o vértice no ponto (4, - 25).
8) Determinar o conjunto imagem da função
f(x) = x
2
– 3x + 2.
9) A função f(x) = x2 – x – 6 admite valor
máximo ou valor mínimo? Qual é esse
valor?
10) Considerar todos os possíveis retângulos
que possuem perímetro igual a 80 cm.
Dentre esses retângulos, determinar aquele
que terá área máxima. Qual será essa área?
11) Determinar p de modo que a função
f(x)= px
2
+ (2p – 1)x + p assuma valores
positivos para todo x real.
12) Resolver a inequação –x2 + 1
0.
13) Determinar o conjunto solução da
inequação x
2
– 10x + 25
0.
14) Resolver a inequação x – 4 <x2 – 4
x +
2.
15) Resolver a inequação
1
3
12
x
x
Respostas
1) f(x) = - 3x
2
+ x + 5
f(5) = - 65
2) 4
3) 5 e -1
4) 1/3
5) 52
6)
20
11
,
10
3
V
7) a = 1 e b = - 8
8)
4
1
/Im yRy
9) O valor mínimo da função é y = - 25/4
10) O retângulo que terá a maior área será o
de lados 20 cm e 20cm, e a área máxima será
de 400cm
2
.
11)
4
1
/ pRp
12)
1,,1| xouxRxS
13) S = R
14)
02| xRxS
ou
}31 x
15) S = {x
R| x < - 3 ou -1< x <2}
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
32
AULA 4
3. FUNÇÃO EXPONENCIAL
3.1 REVISÃO DE POTENCIAÇÃO
3.1.1 POTÊNCIAS COM EXPOENTE NATURAL
Sendo
a
um número real e
n
um número natural, com
n
2, definimos:
na
fatores n
aaaa
.
Para
n
1 e
n
0 são definidos:
1a
a
.
0a
1 (
a
0).
3.1.2 POTÊNCIAS COM EXPOENTE INTEIRO
Se
a
é um número real não-nulo (
a
0) e
n
um número inteiro e positivo, definimos:
na
na
1
.
3.1.3 POTÊNCIAS COM EXPOENTE RACIONAL
Se
a
é um número real positivo e
n
m
um número racional, com
n
inteiro positivo,
definimos:
n
m
a
n ma .
3.1.4 POTÊNCIAS COM EXPOENTE REAL
Podemos considerar que as potências com expoente real têm significado no conjunto dos
números reais. Temos, por exemplo: 210 25,954553519470080977981828375983.
3.1.4.1 Propriedades
Para as potências com expoente real são válidas as seguintes propriedades operatórias:
ma na nma .
ma na nma ( a 0).
nma )(
nma .
nba )(
na nb .
n
b
a
n
n
b
a
(
b
0).
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
33
Exemplos
1) Dê o resultado mais simples de (
35
65
)
105
.
Resolução
Usando as propriedades, temos:
(
35
65
)
105
(
635
)
105
95
105
1095
15
5
1
.
2) Calcule o valor da expressão 2
3
2
3
2
1
06 .
Resolução
2
3
2
3
2
1
06 2
2
3
3
2
1
1
4
9
8
1
1
8
8118
8
11
.
3) Simplifique
x
xx
2
22 25 .
Resolução
x
xx
2
22 25
x
xx
2
2222 25
x
x
2
222 25 )( 52 22 28.
4) Calcule
3
4
8
.
Resolução
Primeira resolução:
3
4
8
3 48 3 4096 16.
Segunda resolução:
3
4
8
3
4
32 )(
3432 42 16.
5) Determine o valor de 7081 , 2081 , .
Resolução
7081 ,
2081 , 207081 ,, 5081 , 5043 ,)( 23 9.
6) Qual o valor de
2210 )(
510 ),(
?
Resolução
2210 )(
510 ),(
2210 5110 )( 210 510 )( 5210 710 10000000.
3.2 EQUAÇÕES EXPONENCIAIS
Definição 25: Chama-se equação exponencial toda equação que contém incógnita no
expoente.
Exemplo:
x2 16.
13 x 23 x 9.
13 x 27.
10 x22 5 x22 10.
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
34
3.2.1 RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES EXPONENCIAIS
Para resolver uma equação exponencial, devemos transformá-la de modo a obter potências
de mesma base no primeiro e no segundo membros da equação utilizando as definições e
propriedades da potenciação. Além disso, usaremos o seguinte fato:
Definição 26: Se
a
0,
a
1 e
x
é a incógnita, a solução da equação
xa
pa
é
x
p
.
Exemplos:
1) Resolver a equação x4 512.
Resolução
Usando as propriedades daspotências, vamos transformar o 1
o
e 2
o
membros da equação em
potências de mesma base:
x4
512
x
)(
22
92 x22 92 2
x
9
x
2
9
.
S
2
9
.
2) Uma empresa produziu, num certo ano, 8000 unidades de determinado produto. Projetando um
aumento anual de produção de 50%, pergunta-se:
a)Qual a produção P dessa empresa
t
anos depois?
b)Após quantos anos a produção anual da empresa será de 40500 unidades?
Resolução
a) Obs: 50%
100
50
0,5
Um ano depois: 80000,580008000(10,5)80001,5
Dois anos depois: (80001,5)1,58000
251 ),(
Três anos depois: (8000
251 ),(
)1,58000
351 ),(
Produção P,
t
anos depois: P8000
t
),( 51
b)Fazendo P40500, na fórmula anterior, obtemos a equação:
405008000
t
),( 51
Resolvendo a equação:
405008000
t
),( 51
t
),( 51
8000
40500
. Obs: 1,5
2
3
.
t
2
3
16
81
t
2
3
4
4
2
3
t
2
3 4
2
3
t 4.
Desse modo, a produção anual da empresa será de 40500 unidades após 4 anos.
3) Determine o conjunto solução da equação 281 x 1 no universo dos números reais.
Resolução
Sabendo que 081 1, temos:
281 x
1 281 x 081 x 20 x 2.
S{2}.
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
35
3.2.2 RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES EXPONENCIAIS COM O USO DE ARTIFÍCIOS
Para se resolver determinadas equações exponenciais, são necessárias algumas
transformações e artifícios.
Exemplos:
1) Resolver a equação x4 5 x2 40.
Resolução
Usando as propriedades da potenciação, vamos fazer uma transformação na equação dada:
x4
5 x2 40 x
)(
22
5 x2 40 22 )( x 5 x2 40.
Fazendo x2
y
, temos a equação do 2
o
grau em
y
:
2y
5
y
40
y
2
16255
1y
4 e
2y
1.
Voltando à igualdade x2
y
:
1y
4:
x2
y
x2 4 x2 22
x
2.
2y
1:
x2
y
x2 1 x2 02
x
0.
S{0,2}.
2) Determine o conjunto solução da equação
x5
x25
24.
Resolução
Preparando a equação, temos:
x5
x25 24 x5 25 x5 24 x5 25
x5
1
24 x5
x5
25
24.
Fazendo x5
y
, temos:
y
y
25
24
2y
2524
y
2y
24
y
250
1
25
2
1
y
y
Voltando à igualdade x5
y
:
1y
25:
x5
y
x5 25 x5 25 x 2.
2y
1:
x5
y
x5 1 Esta equação não tem raiz em R , pois x5 0, para todo x real.
S{2}.
3.3 FUNÇÃO EXPONENCIAL
Definição 27: A função
f
:
R
R
dada por
f
(
x
) xa (com a 0 e a 1) é denominada
função exponencial de base
a
.
3.3.1 GRÁFICO DA FUNÇÃO EXPONENCIAL NO PLANO CARTESIANO
Dada a função
f
:
R
R
, definida por
f
(
x
) xa (com a 0 e a 1), temos dois casos para
traçar seu gráfico: (i)
a
1 e (ii) 0
a
1.
(i)
a
1.
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
36
1) Traçar o gráfico de
f
(
x
) x2 .
x
f ( x ) x2
2
4
1
1
2
1
0 1
1 2
2 4
3 8
Obs.1: Quanto maior o expoente
x
, maior é a potência
xa
, ou seja, se
a
1 a função
xasf )(
é crescente.
(ii) 0
a
1.
2) Traçar o gráfico de
f
(
x
) x
2
1 .
x
f ( x )
x
2
1
3
8
2
4
1
2
0 1
1
2
1
2
4
1
Obs.2: Quanto maior o expoente
x
, menor é a potência xa , ou seja, se 0a 1 a função
xaxf )(
é decrescente.
Com base no gráfico, podem-se tirar algumas considerações:
3.3.2 CARACTERÍSTICAS DA FUNÇÃO EXPONENCIAL
Seja
f
:
R
R
, definida por
f
(
x
) xa (com a 0 e a 1).
Domínio da função
f
são todos os números reais
D
R
.
Imagem da função
f
são os números reais positivos
Im
R
.
A curva da função passa pelo ponto (0,1).
3210
6
7
8
y
x-1-2 4-3-4
1
2
3
4
5
3210
6
7
8
y
x-1-2 4-3-4
1
2
3
4
5
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37
A função é crescente para a base
a
1.
A função é decrescente para a base 0
a
1.
3.4 INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS
Definição 28: São inequações exponenciais aquelas que aparecem incógnitas no expoente.
3.4.1 RESOLUÇÃO DE INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS
Para resolver inequações exponenciais, devemos observar dois passos importantes:
Redução dos dois membros da inequação a potências de mesma base;
Verificar a base da exponencial,
a
1 ou 0
a
1, aplicando as propriedades
abaixo.
Caso (i):
a
1 Caso (ii): 0
a
1
ma
na
m
n
ma
na
m
n
As desigualdades têm mesmo sentido As desigualdades têm sentidos diferentes
Exemplos:
1) Resolva a inequação x2 32.
Resolução
Como 52 32, a inequação pode ser escrita:
x2
52 Caso (i):
a
1.
x
5.
S{
x
R
;
x
5}.
2) Resolva a inequação
xx 23 23 )(
1.
Resolução
xx 23 23 )(
1
xx 23 23 )(
03)(
Caso (i):
a
1.
3 2x 2 x 0
Tome
f
(
x
)3 2x 2 x
f
(
x
)0 3 2x 2 x 0
0
3
2
2
1
x
x
S{
x
R
;
x
2/3 ou
x
0}.
3) Resolva a inequação 3
2
1
x 72
2
1
x .
Resolução
3
2
1
x 72
2
1
x Caso (ii): 0
a
1.
x
32
x
7
x
10 (1)
x
10.
S{
x
R
;
x
10}.
x0
2
3
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38
AULA 4 - EXERCÍCIOS
1) Uma cultura inicial de 100 bactérias, reproduz-se em condições ideais. Supondo que, por divisão
celular, cada bactéria dessa cultura dê origem a duas outras bactérias idênticas por hora.
a) Qual a população dessa cultura após 3 horas do instante inicial?
b) Depois de quantas horas a população dessa cultura será de 51.200 bactérias?
2) Resolva as equações:
a)
72821 x
b)
0
81
3
4 4
x
x
3) Determine o conjunto solução das seguintes equações:
a)
0273.2832 xx
b)
xx 2.123222
c)
14
5
6416
x
x
4) Se f(x) = x
2
+ x e g(x) = 3
x
, determine x para que f(g(x)) = 2.
5) Cada golpe de uma bomba extrai 10% de óleo de um tanque. A capacidade do tanque é de 1 m
3
e, inicialmente, esta cheio.
a) Após o 5
o
golpe, qual o valor mais próximo para o volume de óleo que permanece no
tanque?
b) Qual é a lei da função que representa o volume de óleo que permanece no tanque após n
golpes?
6) Resolva as inequações:a) 43 55 2 xx
b) 513
3
1
3
1
xx
c)
1275,02 222 xX
7) Determine o domínio da função
12 2 xy
Respostas:
1) a) 800 bactérias
b) 9 horas
2) a) 3/2
b) 4
3) a) {0, 3}
b) {2, 3}
c) {1, 2}
4) x = 0
5) a) 0,59m
3
b) f(n) = 1 . (0,9)
n
6) a)
}4,,1/{ xouxRx
b)
}3/{ xRx
c)
}0/{ xRx
7)
}2/{ xRx
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39
AULA 5
4. FUNÇÃO LOGARÍTMICA
4.1 DEFINIÇÃO DE LOGARITMO
Definição 29: Dados dois números reais positivos,
a
e
b
, com
a
1, existe um único
número real
x
de modo que
xa
b
. Este número
x
é chamado de logaritmo de
b
na base
a
e
indica-se
balog
.
Podemos então, escrever:
xa
b
x
balog
(1
a
0 e
b
0).
Na igualdade
x
balog
, temos:
a
é a base do logaritmo;
b
é o logaritmando ou antilogaritmo;
x
é o logaritmo.
Exemplos:
Calcular o valor de
x
nos exercícios seguintes:
1)
32log2
x
.
x2
32 x2 52
x
5.
2)
16log4
x
.
x4
16 x4 24
x
2.
3)
x8log
1.
18
x
x
8.
4)
81log3
x
.
x3
81 x3 43 x 4.
5)
1log5
x
.
x5
1 x5 05 x 0.
Obs.1:
blog
significa
b10log
. Quando não se indica a base, fica subentendido que a base é 10.
4.2 CONSEQÜÊNCIAS DA DEFINIÇÃO
Tome 1
a
0,
b
0 e
m
um número real qualquer. Da definição de logaritmos, pode-se
verificar que:
O logaritmo de 1 em qualquer base é igual a zero.
1loga
0, pois 0a 1.
O logaritmo da própria base é igual a 1.
aalog 1, pois 1a a .
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
40
O logaritmo de uma potência da base é igual ao expoente.
m
a alog
m
, pois
ma
ma
.
O logaritmo de
b
na base
a
é o expoente ao qual devemos elevar
a
para obter
b
.
baa
log
b
, pois
xa
b
x
balog
.
4.3 PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS
Logaritmo de produto
)(log yxa
xalog
yalog
(1
a
0,
x
0 e
y
0).
Logaritmo de quociente
y
x
alog
xalog
yalog
(1
a
0,
x
0 e
y
0).
Logaritmo de potência
m
a xlog
m
xalog
(1
a
0,
x
0 e
m
R
).
4.4 COLOGARITMO
Cologaritmo de um número positivo
b
numa base
a
(1
a
0) é o logaritmo do inverso
desse número
b
na base
a
.
bco alog
b
a
1
log
bco alog
balog
(1
a
0 e
b
0).
Exemplo:
Sabendo que
log
3
a
e
log
5
b
, calcule os logaritmos abaixo, em função de
a
e
b
.
log
15
log
15
log
(35)
log
3
log
5
a
b
.
log
675
log
675
log
( 33 25 )
log
33
log
25
3
log
32
log
53
a
2
b
.
log
2
log
2
log
5
10
log
10
log
5 1
b
.
4.5 MUDANÇA DE BASE
As propriedades logarítmicas são válidas para logaritmos numa mesma base, por isso, em
muitos casos, é conveniente fazer a conversão de logaritmos de bases diferentes para uma única
base.
A seguir, será apresentada a fórmula de mudança de base.
Seja:
balog
x
xa b .
Aplicando o logaritmo na base
c
em ambos os membros, obtemos:
x
c alog
bclog
x
aclog
bclog
x
a
b
c
c
log
log
, mas
x
balog
.
Então:
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
41
balog
a
b
c
c
log
log
(1
a
0, 1
c
0 e
b
0).
Exemplos:
1) Sendo
log
20,3 e
log
30,4, calcule
6log2
.
6log2
2log
6log
2log
)32log(
2log
3log2log
30
4030
,
,,
30
70
,
,
3
7
.
2) Resolva a equação
x2log
x4log
x16log
7.
A condição de existência é
x
0.
Transformando para a base 2:
x2log
x4log
x16log
7
x2log
4log
log
2
2 x
16log
log
2
2 x
7
x2log
2
log2 x
4
log2 x
7
4
loglog2log4 222 xxx
4
28
7
x2log
28
x2log
4
42
x
x
16 16 satisfaz a condição de existência.
Logo, o conjunto solução é:S{16}.
3) Resolva a equação
2log
(
x
2)
2log
(
x
2)5.
Condições de existência são:
x
20 e
x
20
x
2 e
x
2. Então:
x
2.
2log
(
x
2)
2log
(
x
2)5
2log
[(
x
2)(
x
2)]5
(
x
2)(
x
2) 52
2x
432
2x
36
2x
6 6 não satisfaz a condição de existência mas, 6 satisfaz.
Logo, o conjunto solução é: S{6}.
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
42
4.6 FUNÇÃO LOGARÍTMICA
A função exponencial
g
:
R
R
definida por
g
(
x
)
xa
(com 1
a
0) é bijetora. Nesse
caso, podemos determinar a sua função inversa. É a função logarítmica definida abaixo.
Definição 30: A função
f
:
R
R
definida por
f
(
x
)
xalog
(com 1
a
0) é chamada
função logarítmica de base
a
.
4.6.1 GRÁFICO DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA NO PLANO CARTESIANO
Como os gráficos de funções inversas são simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes
ímpares, o gráfico da função logarítmica é de imediata construção, uma vez que já vimos o gráfico
da função exponencial.
Seja
f
:
R
R
, tal que
y
xalog
e
1f
:
R
R
, tal que
y
xa
. Os gráficos de
f
e
1f
serão plotados no mesmo plano cartesiano ortogonal.
(i)
a
1.
GRÁFICO DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA E EXPONENCIAL (
a
1).
(ii) 0
a
1.
GRÁFICO DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA E EXPONENCIAL (0
a
1).
3210
6
7
8
y
x-1-2 4-3-4
1
2
3
4
5
=y x
log x
a=y
=y xa
3210
6
7
8
y
x-1-2 4-3-4
1
2
3
4
5
=y xa
=y x
log x
a=y
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
43
4.7 INEQUAÇÕES LOGARÍTMICAS
Chamamos de inequação logarítmica toda inequação que envolve logaritmos com a
incógnita aparecendo no logaritmando, na base ou em ambos.
Exemplos:
1) Resolva a inequação
2
1log
(
x
3)
2
1log
4.
Condição de existência:
x
30
x
3 (i).
Base: (0
a
1). Como a base é um número entre 0 e 1, a função logarítmica é decrescente e
o sentido da desigualdade se inverte para os logaritmandos.
x
34
x
3 (ii).
A solução da inequação deve satisfazer as duas condições:
S{
x
R; 3
x
7}.
2) Resolva a inequação
4log
(
2x
x
)
4log
(2
x
10).
1
a
Condição de existência:
2x
x
0
x
0 ou
x
1 (i).
2
a
Condição de existência:
2
x
100
x
5 (ii).
Base: (
a
1).
2x
x
2
x
10 2x x 2 x 100 2x 3 x 100 x 2 ou x 5 (iii).
A solução da inequação deve satisfazer as três condições:
S{
x
R
; 5
x
2 ou
x
5}.
3) Suponha que o preço de um carro sofra uma desvalorização de 20% ao ano. Depois de quanto
tempo, aproximadamente, seu preço cairá para cerca da metade do preço de um carro novo? (Use
10log
20,3).
p
0p
(10,2) t
p
0p
(0,8) t
p
0p
t
10
8
Procura-se
p
2
0p
, logo:
x
x
x
7
3(i)
(ii)
(i) (ii)
73
x
x
x(i)
(ii)
(iii)
x(i) (ii)
-2
(iii)
-5 0 1
5
-5
-2
0 1
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
44
2
0p
0p
t
10
8 (
0p
0)
2
1
t
10
23 12 t32 t10
Aplicando
10log
em ambos os membros, temos:
10log
12
10log
( t32 t10 )
10log
12
10log
( t32 t10 )
10log
12
10log
t32
10log
t10
10log
23
t
10log
2
t
10log
10
0,33
t
0,3
t
0,30,9
t
t
0,30,1
t
t
3
O preço do carro cairá para a metade do preço do carro novo depois de 3 anos.
AULA 05 – EXERCÍCIOS
1) Resolva as seguintes equações:
a) log2 (x – 4) = 3
b) logx (3x
2
– x) = 2
c) (log3x)
2
– log3x – 6 = 0
d) log5(log3x) = 1
2) Sabendo que log 2 = 0,301 e log 3 = 0,477,
calcule:
a) log 6 b) log 5
c) log 2,5 d) log
3
3) Qual o conjunto solução da equação
a)
2
1)1(log)13(log 42 xx
b)
2loglog 10010 xx
4) Determine o campo de existência da função
)2510(log)12(log)( 23
2
3 xxxxxf
5) Resolva as inequações:
a) log3(5x – 1) > log3 4
b) log2(x – 4) > 1
c) log12(x – 1) + log12(x – 2) 1
Respostas:
1) a) 12 b) ½
c) {1/9, 27} d) 243
2) a) 0,778 b) 0,699
c) 0,398 d) 0,2385
3) a) 1 b) 100
4)
}5,,4,,3/{ xexouxRx
5) a)
}1/{ xRxS
b)
}6/{ xRxS
c)
}52/{ xRxS
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
45
AULA 6
5. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
5.1 SENO E COSSENO DE UM ARCO:
Tome o arco dado na figura abaixo:
Arco para o conceito de seno e cosseno.
Seno de um arco é a ordenada do ponto P.
sen
ON
MP
.
Cosseno de um arco é a abscissa do ponto P.
cos
OM
NP
.
5.1.1 CONSEQÜÊNCIAS:
Para qualquer ponto da circunferência, a ordenada e a abscissa nunca são menores que 1
nem maiores que 1. Por isso dizemos que seno e cosseno são números compreendidos entre 1 e
1, o que nos permite concluir:
1
sen
1 e 1
cos
1
5.1.2 FUNÇÃO SENO E FUNÇÃO COSSENO
Função seno é a função que associa a cada arco
x
R
o número
senx
R
, ou
y
senx
.
Função cosseno é a função que associa a cada arco
x
R
o número
xcos
R
, ou
y
xcos
.
5.1.3 GRÁFICO DAS FUNÇÕES SENO E COSSENO
Para estudar a função seno (
y
sen x
) e a função cosseno (
y
cos x
) vamos variar
x
no
intervalo [0,2].
5.1.3.1 Função seno:
y
sen x
GRÁFICO DA FUNÇÃO SENO.
A
P
O
N
M
AO O 2
3
4
6
2
3
2
1
1
y
x
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
46
5.1.3.2 Conclusões
O domínio da função
y
sen x
é o conjunto dos números reais, isto é,
D
R
.
A imagem da função
y
sen x
é o intervalo [1,1], isto é, 1
sen x
1.
Toda vez que somamos 2 a um determinado valor de
x
, a função seno assume o mesmo valor.
Como 2 é o menor número positivo para o qual isso acontece, o período da função
y
sen x
é
p
2.
Essa conclusão pode ser obtida, também, a partir do ciclo trigonométrico onde marcamos o
arco
x
.
Quando adicionamos 2
k
ao arco
x
, obtemos sempre o mesmo valor para o seno, pois a
função seno é periódica de período 2.
sen x
sen
(
x
2
k
),
k
Z
(Inteiros).
5.1.3.3 Seno é função ímpar
No ciclo trigonométrico, os pontos correspondentes aos números
x
e
x
têm imagens
simétricas em relação ao eixo das abscissas. Daí resulta que as ordenadas desses pontos têm o
mesmo valor absoluto, porém, sinais opostos. Então,
sen
(
x
)
sen x
.
Quando uma função
f
é tal que
f
(
x
)
f
(
x
), para todo
x
do seu domínio, dizemos que
f
é uma função ímpar.
Como
sen
(
x
)
sen x
, para todo
x
real, podemos afirmar que a função seno é ímpar.
5.1.3.4 Função cosseno
y
cos x
GRÁFICO DA FUNÇÃO COSSENO.
5.1.3.5 Conclusões
O domínio da função
y
cos x
é o conjunto dos números reais, isto é,
D
R
.
A imagem da função
y
cos x
é o intervalo [1,1], isto é, 1
cos x
1.
O período da função
y
cos x
é
p
2.
Essa conclusão pode ser obtida, também, a partir do ciclo trigonométrico onde marcamos o
arco
x
.
Quando adicionamos 2
k
ao arco
x
, obtemos sempre o mesmo valor para o cosseno, pois a
função cosseno é periódica de período 2.
cos x
cos
(
x
2
k
),
k
Z
(Inteiros).
AO O 2
3
4
6
2
3
2
1
1
y
x
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
47
5.1.3.6 Cosseno é função par
No ciclo trigonométrico, os pontos correspondentes aos números
x
e
x
têm imagens
simétricas em relação ao eixo das abscissas. Daí resulta que esses pontos têm a mesma abscissa.
Então,
cos
(
x
)
cos x
.
Quando uma função
f
é tal que
f
(
x
)
f
(
x
), para todo
x
do seu domínio, dizemos que
f
é uma função par.
Como
cos
(
x
)
cos x
, para todo
x
real, podemos afirmar que a função cosseno é par.
Exemplos:
1) Construa o gráfico da função
y
2
sen x
, dando o domínio, a imagem e o período.
x
sen x
2
sen x
y
0 0 20 0
2
1 21 2
0 20 0
2
3
1 2(1) 2
2 0 20 0
Observando o gráfico, temos:
D
R
,
Im
[2,2], e
p
2.
2) Construa o gráfico da função
y
cos
2
x
, dando o domínio, a imagem e o período.
2
x
x
cos
2
x
y
0 0 1 1
2
0 0
2 1 1
2
3
3 0 0
2 4 1 1
Observando o gráfico,temos:
D
R
,
Im
[1,1], e
p
4.
5.2 TANGENTE DE UM ARCO
Tome o arco dado na figura abaixo:
O 2
2
3
2
1
1
y
x
2
2
O
2
3 4
1
1
y
x
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
48
A
P
O
N
M
T
eixo das tangentes
ARCO PARA O CONCEITO DE TANGENTE.
Tangente de um arco é a ordenada do ponto T (segmento AT).
tan
AT
.
5.2.1 CONSEQÜÊNCIAS
O eixo vertical, suporte de
AT
, é chamado eixo das tangentes.
Podemos dizer que
tan
só é definida se
R
e
2
k
(
k
Z
).
5.2.2 FUNÇÃO TANGENTE
Função tangente é a função que associa a cada arco x
R
, com x
2
k ( k
Z
), o
número
Rxtan
, ou
xy tan
.
5.2.3 GRÁFICO DA FUNÇÃO TANGENTE
Para estudar a função tangente (
y
tan x
) vamos variar
x
no intervalo [0,2].
Gráfico da função tangente.
5.2.4 CONCLUSÕES
O domínio da função
y
tan x
é o conjunto dos números reais
x
R
, com
x
2
k
(
k
Z
),
isto é,
D
{
x
R
/
x
2
k
,
k
Z
}.
A imagem da função
y
tan x
é o conjunto dos números reais.
AO O 2
3
4
6
2
3
2
1
1
y
x
0,58
1,73
1,73
0,58
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
49
Toda vez que somamos
k
a um determinado valor de
x
, a função tangente assume o
mesmo valor. Como é o menor número positivo para o qual isso acontece, o período da função
xy tan
é
p
.
tan
(
x
k
)
tan x
,
k
Z
.
5.2.5 TANGENTE É UMA FUNÇÃO ÍMPAR
Como
xx tan)tan(
, para todo
x
real, com
x
2
k
(
k
Z
), podemos afirmar que a
função tangente é ímpar.
5.3 COTANGENTE DE UM ARCO
Tome o arco dado na figura abaixo:
Arco para o conceito de cotangente.
Cotangente de um arco é a abscissa do ponto C (segmento BC).
cot
BC
.
5.3.1 CONSEQÜÊNCIAS
O eixo horizontal, suporte de
BC
, é chamado eixo das cotangentes.
Podemos dizer que
cot
só é definida se
R
e
k
(
k
Z
).
5.3.2 FUNÇÃO COTANGENTE
Função cotangente é a função que associa a cada arco
x
R
, com
x
k (
k
Z
), o
número
cot x
R
, ou
y
cot x
.
A
P
O
N
M
C
eixo das
cotangentes
B
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
50
5.3.3 GRÁFICO DA FUNÇÃO COTANGENTE
Para estudar a função cotangente (
y
cot x
) vamos variar
x
no intervalo [0,2].
GRÁFICO DA FUNÇÃO COTANGENTE.
5.3.4 CONCLUSÕES
O domínio da função
y
cot x
é o conjunto dos números reais
x
R
, com
x
k
(
k
Z
), isto
é,
D
{
x
R
/
x
k
,
k
Z
}.
A imagem da função
y
cot x
é o conjunto dos números reais.
Toda vez que somamos
k
a um determinado valor de
x
, a função cotangente assume o mesmo
valor. Como é o menor número positivo para o qual isso acontece, o período da função
xy cot
é
p
.
cot
(
x
k
)
cot x
,
k
Z
.
5.3.5 COTANGENTE É UMA FUNÇÃO ÍMPAR
Como
xx cot)cot(
, para todo
x
real, com
x
k
(
k
Z
), podemos afirmar que a
função cotangente é ímpar.
5.4 SECANTE E COSSECANTE DE UM ARCO
Tome o arco dado na figura abaixo:
Arco para o conceito de secante e cossecante.
AO O 2
3
4
6
2
3 2
1
1
y
x
0,58
1,73
1,73
0,58
A
P
O
N
M S
D
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
51
Traçando uma reta tangente à circunferência pelo ponto P, interceptamos o eixo das
abscissas no ponto S e o eixo das ordenadas no ponto D.
sec
OS
.
seccos
OD
.
5.4.1 FUNÇÃO SECANTE E COSSECANTE
Função secante é a função que associa a cada arco
x
R
, com
x
2
k
(
k
Z
), o
número
sec x
R
, ou
y
sec x
Função cossecante é a função que associa a cada arco
x
R
, com
x
k
(
k
Z
), o número
seccos x
R
, ou
y
seccos x
.
5.4.2 GRÁFICO DA FUNÇÃO SECANTE
Para estudar a função secante (
y
sec x
) vamos variar
x
no intervalo [0,2].
Gráfico da função secante.
5.4.3 CONCLUSÕES
O domínio da função
y
sec x
é o conjunto dos números reais
Rx
, com
)(
2
Zkkx
, isto é,
D
{
x
R
/
x
2
k
,
k
Z
}.
A imagem da função
y
sec
x é o conjunto dos números reais maiores ou iguais a 1 ou
menores ou iguais a 1, isto é,
Im
{
y
R
/
y
1 ou
y
1}.
Toda vez que somamos 2
k
a um determinado valor de
x
, a função secante assume o
mesmo valor. Como 2 é o menor número positivo para o qual isso acontece, o período da função
y
sec x
é
p
2.
sec
(
x
2
k
)
sec x
,
k
Z
.
AO O
2
3
4
6
2
3
2
1
1
y
x
1,15
1,41
2
1,15
1,41
2
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
52
5.4.4 GRÁFICO DA FUNÇÃO COSSECANTE
Para estudar a função cossecante (
y
seccos x
) vamos variar
x
no intervalo [0,2].
GRÁFICO DA FUNÇÃO COSSECANTE.
5.4.5 CONCLUSÕES
O domínio da função
y
seccos x
é o conjunto dos números reais
x
R
, com
x
k
(
k
Z
),
isto é,
D
{
x
R
/
x
k
,
k
Z
}.
A imagem da função
y
seccos x
é o conjunto dos números reais maiores ou iguais a 1 ou
menores ou iguais a 1, isto é,
Im
{
y
R
/
y
1 ou
y
1}.
Toda vez que somamos 2
k
a um determinado valor de
x
, a função cossecante assume o
mesmo valor. Como é o menor número positivo para o qual isso acontece, o período da função
y
seccos x
é
p
2.
seccos
(
x
2
k
)
seccos x
,
k
Z
.
5.5 RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Será feito o estudo das relações que existem entre as funções trigonométricas, pois elas têm
muitas aplicações na trigonometria e fora dela. Para as deduções das relações, tomaremos como
base o ciclo trigonométrico e um ângulo dado.
Funções trigonométricas no ciclo.
Podemos identificar as funções trigonométricas no ciclo, em relação ao ângulo :
O 2
3
4
6
2
3
2
1
1
y
x
1,15
1,41
2
1,15
1,41
2
AO
A
P
O
N
M S
D
C
eixo das
cotangentesB
T
eixo das tangentes
Cálculo Diferencial e Integral Profa Paula Francis Benevides
53
sen
ON
;
cos
OM
;
tan
AT
;
cot
BC
;
sec
OS
e
seccos
OD
.
Analisando as funções no ciclo e fixando inicialmente o ângulo , podemos fazer as
seguintes mudanças, para facilitar o entendimento das relações trigonométricas:
Funções adaptadas no ciclo.
Com as novas adaptações, temos as seguintes funções:
sen
AB
;
cos
OA
;
tan
CD
;
cot
OE
;
sec
OD
e
seccos
OF
.
Daí tiram-se três triângulos semelhantes:
OAB
OCD
OEF
.
Triângulos semelhantes.
5.5.1 USANDO O TEOREMA DE PITÁGORAS
sen
2
cos
21;
tan
21
sec
2;
cot
21
seccos
2.
5.5.2 USANDO SEMELHANÇA ENTRE TRIÂNGULOS
Com base na figura acima, tome as seguintes proporções, dadas as razões entre os
triângulos:
Razões do triângulo para :
1
sec
cos
1
sec
cos
1
;
1
tan
cos
sen
tan
cos
sen
.
C
B
O
A E
F
D
cos
cot
tansen
sec
co
sse
c
1
unidade
CO
D
tansec
B
O
Acos
sen1
1 O
E
F
cot
coss
ec
1
21 3
2 1
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
54
Razões do triângulo para :
1
seccos
sen
1
seccos
sen
1
;
1
cot
sen
cos
cot
sen
cos
.
Razões do triângulo para :
1
seccos
tan
sec
seccos
tan
sec
;
1
cot
tan
1
cot
tan
1
.
Exemplos:
Com base nos três triângulos semelhantes da figura anterior, resolva os exercícios que
seguem abaixo:
1) Determine as razões que se pede abaixo, do triângulo para .
sen
sec
tan
;
cos
sec
1
.
2) Determine as razões que se pede abaixo, do triângulo para .
sen
seccos
1
;
cos
seccos
cot
.
3) Determine as razões que se pede abaixo, do triângulo para .
sec
cot
seccos
;
tan
cot
1
.
5.5.3 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
A igualdade
sen
2
cos
21 é verdadeira para qualquer pertencente aos domínios das
funções seno e cosseno. Logo, ela é uma identidade trigonométrica.
Quando temos uma igualdade, só podemos aceitá-la como identidade após uma prova, ou
seja, após uma demonstração.
Para fazer uma demonstração desse tipo, podemos nos valer de qualquer das relações dadas
acima, que são identidades.
3 1
3 2
1 2
1 3
2 3
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
55
5.5.3.1 Processo para demonstrar identidades
Considerando a igualdade, levaremos todas as funções envolvidas para uma razão
equivalente em um dos três triângulos. Depois é só operar ambos os membros e chegar a uma
mesma expressão.
Exemplos:
Nos exercícios seguintes, demonstre que as igualdades são identidades:
1)
tan
2
sen
2
tan
2
sen
2
Levar do triângulo para :
tan
2
sen
2
tan
2
sen
2
2
2
cos
sen
sen
2
2
2
cos
sen
sen
2
2
4
cos
sen
2
222
cos
cossensen
2
4
cos
sen
2
22
cos
)(sensen
2
4
cos
sen
2
4
cos
sen
C.Q.D. (como queríamos demonstrar).
2) (1
cot
)2(1
cot
)22
seccos
2
Todas as funções já se encontram no triângulo , basta desenvolver:
(1
cot
)2(1
cot
)22
seccos
2
(1
cot
)2(1
cot
)22
seccos
2
12
cot
cot
212
cot
cot
22
seccos
2
22
cot
22
seccos
2
2(1
cot
2)2
seccos
2
2
seccos
22
seccos
2 C.Q.D.
CO
D
tansec
B
O
Acos
sen1
1 O
E
F
cot
coss
ec
1
21 3
2 1
CO
D
tansec
B
O
Acos
sen1
1 O
E
F
cot
coss
ec
1
21 3
3
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
56
3)
sec
2
seccos
2
sec
2
seccos
2
Levar do triângulo para :
sec
2
seccos
2
sec
2
seccos
2
sec
2
2
2
tan
sec
sec
2
2
2
tan
sec
2
222
tan
sectansec
2
4
tan
sec
2
22
tan
)1(tansec
2
4
tan
sec
2
22
tan
)(secsec
2
4
tan
sec
2
4
tan
sec
2
4
tan
sec
C.Q.D.
4)
seccos
sen
1
sec
cos
Levar dos triângulos e para :
seccos
sen
1
sec
cos
sen
sen
1
1
cos
1
cos
sen
21
cos
2
sen
2
sen
2 C.Q.D.
CO
D
tansec
B
O
Acos
sen1
1 O
E
F
cot
coss
ec
1
21 3
3 2
CO
D
tansec
B
O
Acos
sen1
1 O
E
F
cot
coss
ec
1
21 3
3 2 1
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
57
5)
cossec
seccos
sen
cot
3
Levar dos triângulos e para :
cossec
seccos
sen
cot
3
seccos
cot
cot
seccos
seccos
1
seccos
cot
3
seccoscot
cotseccos
seccos
1seccos
22
2
cot
3 Obs:
seccos
21
cot
2
seccos
cot 2
22 cotseccos
seccoscot
cot
3
seccos
seccoscot3
22 cotcot1
1
cot
3
cot
3
01
1
cot
3
cot
3
cot
3 C.Q.D.
AULA 6 – EXERCÍCIOS
1) Dado sen x = 3/4 , com 0<x<
/2,
calcular cos x.
2) Para que valores de a temos,
simultaneamente, senx=a + 1 e cos x = a?
3) Dado
3
3
cos x
, com
x
2
, calcule tg x.
4) Simplifique a expressão
g
gtg
cotsec
cot
.
5) Demonstre as seguintes identidades:
a) (1 + cotg
2
x)(1 – cos2x) = 1
b) tg x + cotgx = tg x. Cossec
2
x
c)
2cos1
cos
2cos1
2 x
tg
x
x
x
xsen
Respostas:
1)
4
7
cos x
2) a = 0 ou a = -1
3)
2tgx
4) sec
CO
D
tansec
B
O
Acos
sen1
1 O
E
F
cot
coss
ec
1
21 3
1 2 3
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
58
AULA 7
6. LIMITES
6.1 NOÇÃOINTUITIVA:
Seja a função f(x)= 2x + 1. Vamos dar valores a x que se aproximem de 1, pela sua direita
(valores maiores que 1) e pela sua esquerda (valores menores que 1) e calcular o valor
correspondente de y.
x y = 2x + 1 x y = 2x + 1
1,01 0,6
1,02 0,7
1,03 0,9
1,04 0,95
1,1 0,98
1,2 0,99
Notamos que a medida que x se aproxima de 1, y se aproxima de ______, ou seja, quando
x tende para 1 (x
1), y tende para _____ (y
_____), ou seja:
3)12(lim 1 xx
De forma geral, escrevemos:
bxfax )(lim
6.1.1 PROPRIEDADES:
1.
)(lim)(lim)]()([lim xgxfxgxf axaxax
2.
)(lim)(lim)]()([lim xgxfxgxf axaxax
3.
)(lim
)(lim
)(
)(
lim
xg
xf
xg
xf
ax
ax
ax
4.
*0 ,)(lim)(lim Nnxfxf
n
ax
n
ax
5.
*,)(lim)(lim Nnxfxf n ax
n
ax
6.
)(lim))((lim xfsenxfsen axax
Exemplos:
1)
)3(lim
32
1 xxx
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
59
2)
)cos(lim
3 xxx
3)
10
cos
lim
20 x
x
x
4)
22
1 )3(lim xx
5)
1lim
23
2 xxx
6)
)3(lim
2
1 xxsenx
7)
)432(lim
2
2 xxx
8)
2
4
lim
2
2
x
x
x
9)
9
34
lim
2
2
3
x
xx
x
10)
1
45
lim
2
1
x
xx
x
11)
1
23
lim
2
3
1
x
xx
x
12)
x
x
x
33
lim 0
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
60
13)
)43(lim
3
1 xxx
14)
)(coslim 0 senxxx
15)
4
8
lim
2
3
2
x
x
x
16)
1
1
lim 1
h
h
h
17)
t
t
t
5325
lim 0
18)
t
t
t
16)4(
lim
2
0
19)
1
23
lim
2
2
1
x
xx
x
20)
x
xx
x
11
lim 0
21)
1
1
lim
5
4
1
x
x
x
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
61
AULA 07 – EXERCÍCIOS
1)
)15(lim
23
1 xxxx
2)
)342(lim
23
1 xxxx
3)
)1224(lim 23
2
xxx
x
4)
5
45
lim
2
2
2
x
xx
x
5)
2
107
lim
2
2
x
xx
x
6)
3
32
lim
2
3
x
xx
x
7)
12
34
lim
5
3
1
xx
xx
x
8)
6
36
lim
2
6
x
x
x
9)
2
32
lim
5
2
x
x
x
10)
27543610
27188
lim
234
234
3
xxxx
xxx
x
11)
42
2
lim 2
x
x
x
12)
2
4
lim 4
x
x
x
13)
x
x
x
42
lim 0
14)
1
32
lim 1
x
x
x
15)
11
lim 0
x
x
x
16)
2
321
lim 4
x
x
x
17)
1153
2232
lim
2
2
2
xx
xx
x
Respostas
1) 8
2) 4
3)
526
4) -10
5) -3
6) -4
7)
3
1
8) 12
9) 80
10) 2
11) 0
12) 4
13) 4
14)
4
1
15) 2
16)
3
4
17)
14
5
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
62
AULA 8
6.2 LIMITES INFINITOS:
Quando os valores assumidos pela variável x são tais que |x|> N, sendo N tão grande
quanto se queria, então se diz que o limite da variável x é infinito.
xxlim
ou
xxlim
6.2.1 IGUALDADES SIMBÓLICAS:
6.2.1.1 Tipo Soma:
a. (3) + (
) =
b. (+
) + (+
) = +
c. -
+ (-
) = -
d.
-
= indeterminado
6.2.1.2 Tipo Produto:
a. 5 x (
) =
b. (-5) x (
) =
c. (+
)x(+
) = +
d. (+
)x(-
) = -
e.
x 0 = indeterminado
6.2.1.3 Tipo Quociente:
a.
0
c
b.
c
c.
0
0
d.
0
0
e
indeterminado
6.2.1.4 Tipo Potência:
a.
c
(c>1)
b.
0c
(0<c<1)
c.
00
d.
0c
e.
)(
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
63
f.
c)(
(se c for ímpar)
g.
c)(
(se c for par)
h.
0)(
i.
0)( c
j. 0
0
= indeterminado
k.
0)(
indeterminado
l.
1
indetermindado
Obs.: O limite de uma função polinomial quando x tende ao infinito, é o limite do termo de
maior grau.
Exemplos:
1)
)13(lim
2 xxx
2)
432
1245
lim
2
2
xx
xxx
x
3)
3
543
lim
2
2
xx
xx
x
4)
xlim
3
4
5
6
2
x
x
5)
132
18
lim
4
4
xx
xx
x
6)
)11(lim
22 xxxxx
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
64
AULA 08 – EXERCÍCIOS
1)
)1235(lim
23 xxxx
2)
)122(lim
245 xxxx
3)
)123(lim
24 xxx
4)
)853(lim
24 xxx
5)
)235(lim
3 xxx
6)
)23(lim
2 xxx
7)
3
132
lim
2
23
xx
xxx
x
8)
1
12
lim
2
2
x
x
x
9)
3
3
lim
2x
x
x
10)
359
1253
lim
23
23
xxx
xxx
x
11)
784
852
lim
5
23
xx
xx
x
12)
7
125
lim
23
x
xx
x
13)
33
2
)1(
1
lim
xx
xx
x
14)
1
1
lim
2
x
xx
x
15)
1
1
lim
2
x
xx
x
16)
1
532
lim
4
2
x
xx
x
17)
1
532
lim
4
2
x
xx
x
18)
)43(lim
2 xxxx
19)
)43(lim
2 xxxx
Respostas:
1) +
2) -
3) -
4) +
5) +
6) -
7) +
8) 2
9) 0
10)
3
1
11) 0
12) +
13)
3
1
14) 1
15) -1
16) 2
17) 2
18)
2
3
19) +
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
65
AULA 9
6.3 LIMITES TRIGONOMÉTRICOS:
1lim 0
x
senx
x
Demonstrando o limite fundamental por tabela temos que:
Usando valores de x
0 em radianos, obtemos valores iguais ou muito próximos.
Exemplos:
1)
x
xsen
x
3
lim 0
2)
20
cos1
lim
x
x
x
3)
xsen
xsen
x
2
5
lim 0
4)
xsenxsen
senxxsen
x
42
5
lim 0
x Senx
0,008 0,008
0,006 0,006
0,004 0,004
0,002 0,002
0,001 0,001
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
66
5)
xsenx
xsenx
x
9
23
lim 0
6)
x
tgx
x 0lim
7)
x
x
x
cos1
lim 0
8)
)(
)(
lim 0
nxsen
mxsen
x
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
67
AULA 9 – EXERCÍCIOS
1)
x
xsen
x
2
3
lim 0
2)
x
senx
x
4
lim 0
3)
x
xtg
x
3
2
lim 0
4)
xsen
xsen
x
3
4
lim 0
5)
xtg
xtg
x
5
3
lim 0
6)
xsenx
x
x
cos1
lim 0
7)
20
sec1
lim
x
x
x
8)
x
senxtgx
x 0lim
9)
tgx
xsenx
x
1
cos
lim 0
10)
xsen
senxtgx
x 20
lim
11)
senxx
senxx
x 0lim
12)
xsen
xx
x
4
3cos5cos
lim 0
13)
senx
xsenxsen
x
23
lim 0
14)
x
senaaxsen
x
)(
lim 0
15)
20 3
2cos1
lim
x
x
x
Respostas:
1) 3/2
2) ¼
3) 2/3
4) 4/3
5) 3/5
6) ½
7) – ½
8) 2
9) -1
10) 0
11) 0
12) 0
13) 1
14) cos a
15) 2/3
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
68
AULA 10
6.4 LIMITES DE FUNÇÃO EXPONENCIAL E LOGARÍTMICAS:
e
x
x
x
1
1lim
(1)
Neste caso, e representa a base dos logaritmos naturais ou neperianos. Trata-se do número
irracional e, cujo valor aproximado é 2,7182818
Nota-se que a medida que x
, x
x
1
1
e
De forma análoga, efetuando a substituição
y
x
1
e
y
x
1
temos:
ey yy
1
0 )1(lim
(2)
Ainda de forma mais geral, temos:
(3)
kly
l
y eky )1(lim 0
(4)
kl
lx
x e
x
k
1lim
(5)
a
x
a x
x ln
1
lim 0
(6)
1
1
lim 0
x
e x
x
Exemplos:
1)
x
x
x
4
3
1lim
X x
x
1
1
1 2
2 2,25
3 2,3703
10 2,5937
100 2,7048
1000 2,7169
10000 2,7181
100000 2,7182
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
69
2)
x
x x
3
0 )21(lim
3)
x
x
x
2
13
lim 0
4)
xsen
e x
x
2
1
lim 0
5)
x
x
x
2
5
1lim
6)
xx x
2
0 21lim
7)
x
x
x
12
lim 0
8)
1
3
lim 0 xx e
xsen
9)
xsen
e x
x
4
1
lim
3
0
10)
xsen
x
x
2
13
lim
5
0
11)
26
413
loglim 2
x
x
x
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
70
AULA 10 - EXERCÍCIOS
1)
2
4
2
2
3lim x
x
x
2)
1
1
1lim
x
x
x e
3)
2
45
4
2
1
lim
x
xx
x
e
4)
45
23
loglim
2
2
31
xx
xx
x
5)
21
3
lnlim 3
x
x
x
6)
xx
xx
x 2
3
0 loglim
7)
x
x
x
2
1
1lim
8)
31
1lim
x
x
x
9)
2
1
1lim
x
x
x
10)
3
1
1lim
x
x
x
11)
x
x
x
4
1lim
12)
x
x
x
3
2
1lim
13)
x
x
x
3
2
1lim
14)
x
x x
1
0 )41(lim
15)
x
x x
2
0 )31(lim
16)
3
1
4
lim
x
x
x
x
17)
2
3
1
lim
2
2
x
x
x
x
18)
x
x
x
x
12
32
lim
19)
x
x
x
2
)1ln(
lim 0
20)
x
x
x
3
)21ln(
lim 0
Respostas
1) 81
2) e2
3) e-12
4) -1
5) ln4
6) 0
7) e2
8) e1/3
9) e
10) e
11) e4
12) e6
13) e-6
14) e4
15) e-6
16) e-3
17) e4
18) e
19) ½
20) 2/3
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
71
AULA 11
6.5 LIMITES LATERAIS:
Consideramos uma função y = f(x), da qual queremos achar os limites laterais para x
tendendo a a, ou seja, queremos calcular:
Limite lateral à direita
?)(lim
xfaxLimite lateral à esquerda
Vejamos como proceder em cada caso:
Limite a direita (quando x
a+)
Fazemos a seguinte troca de variável:
x = a + h, com h > 0
x
a, devemos ter h
0
Exemplo:
)43(lim 2 xx
Limite a esquerda (quando x
a-)
Fazemos a seguinte troca de variável:
x = a – h, com h > 0
x
a devemos ter h
0
Exemplo:
)43(lim 2 xx
O Limite de uma função existe quando
)(lim)(lim xfxf axax
?)(lim
xfax
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
72
AULA 11 - EXERCÍCIOS
1)
)13(lim
2
2
xx
x
2)
2
43
lim
3 x
x
x
3)
13
235
lim
2
1 x
xx
x
4)
23
105
lim
2
2
3 xx
xx
x
5)
)31(lim 3 xx
6)
2
lim
2 x
x
x
7)
)3(lim
2
2
xx
x
8)
)3(lim
2
2
xx
x
9)
2
3
lim
2 x
x
x
10)
2
3
lim
2 x
x
x
11)
x
x
1
0
2lim
12)
x
x
1
0
2lim
13)
x
x 10
21
4
lim
14)
x
x 10
21
4
lim
15) Calcule os limites laterais solicitados.
a)
1x se14x
1x se 2
x se x
xf
123
)(
)(lim
1
xf
x
,
)(lim
1
xf
x
,
)(lim
1
xf
x
b)
2 x se1-x
2x se 0
x se x
xf
21
)(
2
)(lim
2
xf
x
e
)(lim
2
xf
x
c)
2 x se7-6xx-
2x se 1
x se 1-3x-x
xf
2
22
)(
2
)(lim
2
xf
x
e
)(lim
2
xf
x
Respostas:
1) 9
2) 1
3) 2
4) 26
5) 1
6)
7) 10
8) 10
9) -
10) +
11) 0
12) +
13) 4
14) 0
15) a) 1 e 5
b) 1 e -3
c) 1 e 1
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
73
AULA 12
7. ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS E VERTICAIS
7.1 INTRODUÇÃO:
Traçaremos com facilidade um esboço gráfico de uma função se conhecermos as assíntotas
horizontais e verticais do gráfico, caso elas existam.
Assíntota são as linhas horizontais e verticais que no gráfico servem para traçarmos a função,
onde a função vai tender para este valor, o que encontrarmos da assíntota, porém não "toca " esta reta,
pois a assintota são os limites laterais vertical e horizontal da função
7.2 ASSÍNTOTA VERTICAL
Dizemos que a reta x = a é uma assíntota vertical do gráfico de f, se pelo menos uma das
afirmações seguintes for verdadeira:
i.
)(lim xfax
ii.
)(lim xfax
iii.
)(lim xfax
iv.
)(lim xfax
7.3 ASSÍNTOTA HORIZONTAL
Dizemos que a reta y = b é uma assíntota horizontal do gráfico de f, se pelo menos uma das
afirmações seguintes for verdadeira:
i.
bxfx )(lim
ii.
bxfx )(lim
Exemplos:
1) Seja a função
)1(
2
)(
x
xf
. Encontre a equação assíntotas horizontais e verticais se ela existirem.
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
74
2) Considere a função
2)2(
4
3)(
x
xf
. Encontre a equação das assíntotas horizontais e verticais, se
ela existirem.
8. FUNÇÕES CONTÍNUAS
8.1 DEFINIÇÃO:
Uma função f é contínua em um ponto a se são satisfeitas as seguintes condições:
i.
)(af
ii.
)(lim xfax
iii.
)()(lim afxfax
Exemplos:
Verifique se as funções abaixo são contínuas no ponto indicado:
1)
xxxf 352)(
em x = 4
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
75
2)
2
|2|
)(
x
xf
em x = 2
3)
33
32
31
)(
2
xsex
xse
xsex
xf
em x = 3
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
76
AULA 12 - EXERCÍCIOS
Escreva a equação das assíntotas das funções abaixo, faça um esboço do gráfico da função:
1)
3
5
x
y
2)
1
13
x
x
y
3)
x
y
2
4)
2)1(
2
x
y
5)
2
3
1
x
y
Verifique se as funções abaixo são contínuas nos pontos indicados
6)
31
3
3
|3|
)(
xse
xse
x
x
xf
em x = 3
7)
3
9
)(
2
x
x
xf
em x = 3
8)
53)( xxf
em x = 2
9)
23
215
)(
2
xsex
xsexx
xf
em x = 2
Respostas
1) x = 3 é a equação da assíntota vertical e y = 0 é a assintota horizontal
2) x = 1 é a equação da assíntota vertical e y = 3 é a assintota horizontal
3) x = 0 é a equação da assíntota vertical e y = 0 é a assíntota horizontal
4) x = 1 é a equação da assíntota vertical e y = 0 é a assíntota horizontal
5) x = 2 é a equação da assíntota vertical e y = - 1 é a assíntota horizontal
6) a função não é contínua
7) a função é continua
8) a função é contínua
9) a função não é contínua
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
77
AULA 13
9. DERIVADAS
9.1 INTRODUÇÃO:
O Cálculo Diferencial e Integral criado por Leibniz e Newton no século XVII tornou-se logo
de início um instrumento precioso e imprescindível para a solução de vários problemas relativos à
Matemática e a Física. Na verdade, é indispensável para investigação não-elementar tanto nas ciências
naturais como humanas.
O formalismo matemático do Cálculo que à primeira vista nos parece abstrato e fora da
realidade, está internamente relacionado com o raciocínio usado pelas pessoas em geral na resolução
de problemas cotidianos.
9.2 DETERMINAÇÃO DO COEFICIENTE ANGULAR DA RETA TANGENTE AO
GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO EM UM DETERMINADO PONTO DESTE GRÁFICO:
Seja f uma função representada no gráfico abaixo:
Gostaríamos de encontrar a inclinação da reta tangente a este gráfico em um determinado
ponto, vamos supor P(x, f(x)).
Sabemos que o coeficiente angular da reta nos dá a inclinação desta. Sendo assim,devemos
encontrar o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico em P (x, f(x)).
y
xx
f x( )
y
xx
f x( )
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
78
Seja P(x, f(x)) e Q (x + h, f(x +h)) dois pontos da função f onde h representa a diferença entre
as abscissas de P e Q. É fácil determinar o coeficiente angular da reta PQ utilizando os conceitos de
trigonometria no triângulo retângulo.
Seja s a reta secante ao gráfico de f pelos pontos P e Q.
y
x
Q
P
x x + h
f x( )
f x+h( )
f x( )
s
R
Sabemos que o coeficiente angular mPQ da reta secante é dado pr
PR
QR
tgmm sPQ
h
xfhxf
ms
)()(
(i) inclinação da reta secante
Podemos tomar no gráfico pontos Q1, Q2, Q3, Q5,....Qn cada vez mais próximos de P, a reta
s(PQ) secante a curva, tende a posição de tangência em P e o acréscimo h, tende a zero.
y
x
Q
P
x x + h
f x( )
f x+h( )
f x( )
s
RQ3
Q2
Q1
Logo:
h
xfhxf
m
mm
xt
sxt
)()(
lim
lim
0
0
onde m representa o coeficiente angular da reta tangente.
Esse limite quando existe é chamado Derivada de t
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
79
9.3 DEFINIÇÃO:
Seja uma função f: D
R, e seja D’ o conjunto de todos os valores x tal que exista f’(x).
Chama-se função derivada de f a função f’ : D’
R tal que:
x
xfxxf
xf x
)()(
lim)(' 0
Exemplo:
1) Se f(x) = x
2
determine a equação da reta tangente ao gráfico f no ponto de abscissa x = 2
2) Seja a função f: R
R tal que f(x) = x
2
. Obter a função derivada de f:
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
80
3) Utilizando a definição calcule a derivada da função f(x)=x
3
9.3.1 OUTRAS NOTAÇÕES PARA A FUNÇÃO DERIVADA:
y’ (lê-se: derivada de y)
y’x (lê-se: derivada de y em relação a x)
dx
dy
(derivada de y em relação a x)
Df (derivada de f)
9.4 SIGNIFICADO FÍSICO DA DERIVADA;
A questão fundamental da cinemática consiste em determinar a velocidade de um móvel em um
instante qualquer quando é conhecida a equação de seu movimento ou seja, a expressão que nos dá o
espaço (posição) em função do tempo, s=f(t).
Quantitativamente a velocidade exprime em geral, a razão de variação do espaço em relação ao
tempo. Quando esta razão é constante, temos o movimento uniforme. Ou seja, se o móvel percorre um
espaço
S
em um intervalo de tempo
t
, a velocidade é dada pelo quociente
t
S
v
, que é uma
razão constante.
Quando porém, temos um movimento variado, ou seja, o móvel percorre espaços diferentes em
tempos iguais, é necessário e fundamental distinguir a velocidade média da velocidade instantânea.
Se um automóvel percorre 120 km em 2 horas, não podemos concluir deste fato que sua
velocidade tenha sido de 60 km/h. Se durante o percurso nós ativéssemos ao velocímetro
constataríamos que a velocidade apresentou variação, ora para mais, ora para menos. Portanto a
velocidade de 60 km/h que obtivemos dividindo 120km pelo tempo de 2 horas gastos em percorrê-los
é o que chamamos de velocidade média. A velocidade que observamos a cada instante no velocímetro
do veículo denominamos velocidade instantânea.
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
81
Consideremos um móvel de equação horária s = f(t) que se desloca sobre uma trajetória
retilínea de origem O e que em um instante t1 ocupe uma posição S1 e num instante t2 ocupe uma
posição S2.
Sabemos que o espaço percorrido pelo móvel entre uma posição e outra é
12 SSS
ou
)()( 12 tftfS
e que o tempo gasto para percorrê-lo é
12 ttt
.
Logo, sua velocidade média neste percurso é:
12
12
12
12 )()(
tt
tftf
tt
SS
t
S
Vm
Com a definição de velocidade média e considerando a variação do tempo tendendo a zero
podemos estabelecer a equação da velocidade instantânea no instante t1, dada por:
12
12
0
)()(
limlim
tt
tftf
t
S
V t
Mas
tttttt 1212
e considerando t1 um instante genérico t, temos
ttt 2
,
logo:
t
tfttf
V t
)()(
lim 0
que é a derivada da função f em relação a sua variável independente t, ou seja:
Se S = f(t) então S’(t) = v
Raciocínio semelhante pode ser desenvolvido a partir da função velocidade do móvel, v= f(t), o
que nos levará a concluir que a sua derivada nos fornecerá a aceleração do móvel em um instante
qualquer, isto é:
Se v = f(t) então v’(t) = a
Onde a é a aceleração instantânea do móvel.
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
82
9.5 REGRAS DE DERIVAÇÃO:
Esta seção contém algumas regras gerais que simplificam o trabalho de cálculo das derivadas.
1) f(x) = c f’(x) = 0
2) f(x) = x
n
f’(x) = n.xn-1
3) f(x) = u.v f’(x) = u’v + uv’
4) f(x) = u.v.w f’(x) = u’vw + uv’w + uvw’
5)
v
u
xf )(
2
''
)('
v
uvvu
xf
6) f(x) = u
n
f’(x) = n.un-1.u’
7) f(x) = a
u
f’(x) = au.ln a.u’
8) f(x) = e
u
f’(x) = eu.u’
9) f(x) = ln u
u
u
xf
'
)('
10) f(x) = log a u
au
u
xf
ln.
'
)('
11) f(x) = cos u f’(x) = - u’.sen u
12) f(x) = sen u f’(x) = u’.cos u
13) f(x) = tg u f’(x) = u’.sec2 u
14) f(x) = cotg u f’(x) = - u’.cossec2u
15) f(x) = sec u f’(x) = u’.sec u. tg u
16) f(x) = cossec u f’(x) = - u’.cossec u. cotg u
17) f(x) = u
v
f’(x) = v.uv-1.u’ + uv.v’.ln u
)'.ln'()(' u
u
v
uvuxf v
18) f(x) = arc sen u
21
'
)('
u
u
xf
19) f(x) = arc cos u
21
)('
u
u
xf
20) f(x) = arc tg u
21
'
)('
u
u
xf
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
83
9.5.1 DERIVADA DE FUNÇÃO ALGÉBRICA:
Exemplos:
1) y = 4x
2
– 2x
2)
7
3
5
7 2
x
y
3)
3 2xy
4)
1
2
x
x
y
5)
)1)(32( 2xxxy
6)
52 )3( xy
7)
21 xy
8)
34
2
x
y
Cálculo Diferencial e IntegralProf a Paula Francis Benevides
84
AULA 13 - EXERCÍCIOS
1) y = 5X
4
– 3X3 + 2X2 + 3X + 5
2) y = 7x
4
-2x
3
+ 8x
3)
x
xx
y 4
2
5
3
2 23
4)
3
7
x
y
5)
5
4
x
y
6)
xxy 2
7)
44 35 2 xxxy
8)
xxy 612 3
9)
53
1
x
y
10)
72
53
x
x
y
11)
55
32
2
xx
x
y
12)
2
23
2
2
xx
xx
y
13) y = (1 + 4x
3
)(1 + 2x
2
)
14) y = (x
2
– 1)(1 – 2x)(1 – 3x2)
15) y = (2x
2
– 4x + 8)8
16) y = (3a- 2bx)
6
17)
3 3bxay
18)
3 22 )52( xy
19)
xaxay )(
20)
45 xxy
21)
56
52
3
x
x
y
22)
42
1
2
xx
x
y
23)
x
x
y
1
1
24)
xa
xa
y
Respostas:
1) y’ = 20x3 – 9x2 + 4x + 3
2) y’ = 28x3 – 6x2 + 8
3) y’ = 2x2 + 5x – 4
4)
4
21
'
x
y
5)
6
20
'
x
y
6)
x
xx
y
2
4
'
2
7)
3
45 3
4
4
3
5
2
' x
xx
y
8)
x
xy
3
18'
9)
25309
3
'
2
xx
y
10)
2)72(
31
'
x
y
11)
22
2
)55(
2562
'
xx
xx
y
12)
22
2
)2(
42
'
xx
x
y
13) y’ = 40x4 + 12x2 + 4x
14) y’ = 30x4 – 12x3 – 24x2 + 8x + 2
15) y’ = (32x – 32)(2x2 – 4x + 1)7
16) y’ = -12b(3ª-2bx)5
17)
3 23
2
)(
'
bxa
bx
y
18)
3 2523
20
'
x
x
y
19)
xa
xa
y
2
3
'
20)
452
815
'
x
x
y
21)
32
23
)56(
10456
'
x
xx
y
22)
32 )42(
3
'
xx
y
23)
)1(1
1
'
2 xx
y
24)
2)(
'
xax
a
y
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
85
AULA 14
9.5.2 DERIVADA DE FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS:
Exemplos:
1)
xy 3
2)
xey
3)
xxey 2
2
4)
axexy 2
5)
1
1
x
x
e
e
y
6)
xy 3log
7)
)1(log 2 xy a
8)
xx
xx
ee
ee
y
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
86
AULA 14 - EXERCÍCIOS
1) y = 3x
2) y = e – x
3)
8xey
4)
12 xxey
5)
xxy 2
2
7
6)
x
e
y
x
7)
xxy )1(
8)
13)1( xxy
9)
xy 3ln
10)
3log4 xy
11)
2
2
1
ln
x
x
y
12)
x
x
y
1
1
ln
13)
229ln xy
14)
xx
y
ln
1
15)
xey x ln
16)
22 ln xxy
17)
x
x
y
ln
Respostas:
1)
3ln3' xy
2)
xey '
3)
8
.8' 7 xexy
4)
)12.(' 1
2
xey xx
5)
)22.(7ln.7' 2
2
xy xx
6)
2
)1(
'
x
xe
y
x
7)
)1ln()1()1(' 1 xxxxy xx
8)
)1ln(.3.)1()1)(1(' 213
33
xxxxxy xx
9)
x
x
y
2ln
3'
10)
10ln
12
'
x
y
11)
)1(
2
'
2xx
y
12)
2)1(
2
'
x
y
13)
229
2
'
x
x
y
14)
2)ln(
1ln
'
xx
x
y
15)
x
xey x
1
ln'
16)
)1(ln2' 2 xxy
17)
2
ln1
'
x
x
y
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
87
AULA 15
9.5.3 DERIVADA DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS:
Exemplos:
1) y = sen 5x
2) y = 3cos 2x
3) y = tg 3x
4) y = sec 4x
5) y = tg x
3
6) y = tg
2
x
7) y = cotg(1 – 2x2)
8) y = x
2
cosx
9) y = sen2x.cosx
10)
x
x
y
cos
11)
x
x
y
2
arccos
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
88
AULA15 - EXERCÍCIOS
1) y = cossec 7x
2) y = sen3x + cos2x
3) y = sen5x
4) y = 5sen3x
5)
3 3xtgy
6)
12 xseny
7)
xxe
x
y
cos
8)
xxy )(cos
9)
x
senx
y
cos
10)
34xsenxey x
11)
xy 3sec
12)
xesenxxy .2
13)
xarcseny 3
14)
x
arctgy
1
15)
)23( xarcseny
16)
22xarctgy
17)
)25( 3xarcseny
18)
)1(cot 2xgarcy
19)
3sec xarcy
20)
)1sec(arccos xy
21)
arcsenxxy 2
22)
arctgxxy .
23)
xy arccosln
Respostas
1) y’ = -7cossec7x.cotg7x
2) y’ = 3cos3x-2sen2x
3) y’ = 5sen4x.cosx
4) y’ = 15sen2x.cosx
5)
xsenx
xtg
y
3.3cos
3
'
3
6)
12
12cos
'
x
x
y
7)
xex
xxsenxx
y
2
cos)cos(
'
8)
)cos(ln)(cos' xtgxxxy x
9)
xy 2sec'
10)
212)cos(' xxsenxey x
11)
xtgx
x
y .sec
2
3
' 3
12) y’ = xex(2senx+xcosx+xsenx)
13)
291
3
'
x
y
14)
1
1
'
2
x
y
15)
3129
3
'
2
xx
y
16)
441
4
'
x
x
y
17)
24204
6
'
36
2
xx
x
y
18)
4222
2
'
xx
x
y
19)
1
3
'
6
xx
y
20)
xxx
y
2)1(
1
'
2
21)
21
1
2'
x
xy
22)
21
'
x
x
arctgxy
23)
21.arccos
1
'
xx
y
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
89
AULA 16
9.6 DERIVADAS SUCESSIVAS
Seja f uma função contínua em um intervalo I e derivável em um intervalo A
I. Vimos que
a derivada de f em A denotamos por f’ . Se f’ é derivável em um intervalo B, B
A, a esta derivada
de f’ denotamos por f‖ denominamos derivada segunda de f.
Procedendo de maneira análoga, definimos as derivadas terceiras, quarta,...,enésimas.
Exemplo:
1) Obtenha até a derivada de 5
a
ordem da função f(x) = 5x
5
– 3x3
2) Dada a função f(x) = x
4
– 2x3 + 4x2 – 1, pede-se calcular f‖(-1) e f(6)(15)
9.7 REGRAS DE L’HOSPITAL
Agora apresentaremos um método geral para levantar indeterminações do tipo
0
0
ou
.
Esse método é dado pelas regras de L’Hospital.
Regras de L’Hospital:Sejam f e g funçõesderiváveis num intervalo aberto I. Suponhamos
que g’(x)
0 para todo x
a em I.
i). Se
0)(lim)(lim xgxf axax
e
L
xg
xf
ax
)('
)('
lim
então:
L
xg
xf
xg
xf
axax
)('
)('
lim
0(
)(
lim
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
90
ii). Se
)(lim)(lim xgxf axax
e
L
xg
xf
ax
)('
)('
lim
então:
L
xg
xf
xg
xf
axax
)('
)('
lim
)(
)(
lim
Obs.: A regra de L’Hospital continua válida se
)('
)('
lim
xg
xf
ax
ou
)('
)('
lim
xg
xf
ax
.
Ela também é válida para os limites laterais e para os limites no infinito.
Exemplos:
Determinar
1)
1
2
lim 0
xx e
x
2)
x
senx
x 0lim
3)
x
x
x
cos1
lim 0
4)
4
2
lim 4
x
x
x
5)
23
6
lim
2
2
2
xx
xx
x
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
91
AULA 16 – EXERCÍCIOS
1)
1
1
lim
2
1
x
x
x
2)
1
23
lim
23
3
1
xxx
xx
x
3)
xx e
x3
lim
4)
1
ln
lim 1
x
x
x
5)
20 3
lim
x
senxx
x
6)
32
1
lim
x
ex x
x
7)
3
lim
3
3
x
ee x
x
8)
senxx
xtgx
x
0lim
9)
senxx
xee xx
x
2
lim
2
0
10)
xsen
x
x
2
1
1
lim
11)
x
x
sen
x
2
1
lim
12)
30
lim
x
senxx
x
13)
x
ba xx
x
0lim
14)
2
1
lim
3
2
x
xsen
x
15)
1cos
1
lim
2
0
x
e x
x
16) Obter a derivada terceira das seguintes
funções:
a) f(x) = x3 + 2x2 + 1
b) f(x) = 5x2 – 3x +2
c)
12
1
)(
x
xf
d) f(x) = 2x-3
e) f(x) = sen3x
f) f(x) = e2x
17) Obter a derivada segunda das seguintes
funções:
a)
xa
x
y
2
b) y = ex.cosx
Respostas
1) 2
2)
2
3
3) 0
4) 1
5) 0
6) 0
7) e3
8) 2
9) 2
10)
2
11) 0
12)
6
1
13)
b
a
ln
14) 0
15) -2
16) a) 6 b) 0 c) 0
d) -120x
-6
e) -27cos3x f) 8e
2x
17) a)
3
2
)(
2
"
xa
a
y
b) y‖ = -2exsenx
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
92
AULA 17
9.8 APLICAÇÃO DAS DERIVADAS
9.8.1 TAXAS DE VARIAÇÃO RELACIONADAS
Notemos que se duas grandezas variáveis estão relacionadas entre si através de uma
terceira grandeza, então suas taxas de variação em relação a esta grandeza da qual dependem
também estarão.
Exemplo: Se y depende de x e x depende de t, temos:
dt
dx
dx
dy
dt
dy
Exemplos:
1) Um quadrado se expande de modo que seu lado varia a razão de 5 cm/s. Achar a taxa de variação
de sua área em relação ao tempo no instante em que o lado mede 15cm.
2) Um cubo se expande de modo que sua aresta varia a razão de 12,5cm/s. Achar a taxa de variação
de seu volume no instante em que sua aresta mede 10cm.
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
93
3) Acumula-se areia em um monte com a forma de um cone onde a altura é igual ao raio da base.
Se o volume de areia cresce a uma taxa de 10 m
3
/h, a que razão aumenta a área da base quando a
altura do monte é de 4m?
9.8.2 MÁXIMOS E MÍNIMOS
9.8.2.1 Introdução:
Suponha que o gráfico abaixo tenha sido feito por um instrumento registrador usado para
medir a variação de uma quantidade física em relação ao tempo. Em tal caso, o eixo dos x
representa o tempo e as ordenadas dos pontos do gráfico, os valores da quantidade f(x).
Por exemplo, os valores de y podem representar medidas de temperaturas, pressão,
corrente em um circuito elétrico, pressão sangüínea de indivíduo, quantidade de um produto
químico em uma solução, bactérias em uma cultura, etc.
Observemos que há intervalos em que a função é crescente e outros nos quais ela é
decrescente.
y
xa b c d e
M
N
P
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
94
A figura mostra que f é crescente no intervalo de ]a,b[, decrescente de ]b, c[, crescente ]c,
d[ e decrescente de ]d, e[.
Se restringirmos nossa atenção ao intervalo de [b, e], veremos que a quantidade atingiu
seu máximo (maior valor) em d e seu mínimo em c.
Observe que em outros intervalos existem diferentes máximos e mínimos.
O ponto M da curva, de abscissa x = b, situa-se exatamente no ponto onde a função passa
de crescente para decrescente. Dizemos então que a função apresenta um máximo local em x = b,
ou que f(b) é um máximo local da função. Isto é, o valor de f(b) é o maior valor que a função
assume para valores de x, próximos de b.
Convém observar que o ponto M não é o ponto mais alto do gráfico. M é o ponto mais
alto dos que lhe são próximos. Por isso o adjetivo ―local‖.
Vejamos agora que a função é decrescente no intervalo de ]b, c[ e crescente de ]c, d[. O
ponto N da curva situa-se exatamente no ponto em que a função passa de decrescente para crescente
e sua abscissa é x = c. Observamos que N é o mais baixo ponto entre os que lhe são próximos.
Dizemos que a função apresenta ai um mínimo local, ou que f(c) é um mínimo local de f. O valor
de f(c) é o menor valor que a função assume para valores próximos de x, próximos de b.
Notemos que a função pode apresentar outros máximos e mínimos locais.
Definição 1: Seja f uma função definida em um intervalo l e c um número em l, então:
i). f(x) é máximo de f em l se f(x)
f(c) para todo x em l
ii). f(x) é mínimo em f em l se f(x)
f(c) para todo x em l
Definição 2: Seja c um valor do domínio de uma função f
i). f(c) é máximo local de f se existe um intervalo (a,b), contendo c, tal que f(x)
f(c)
para todo x em (a,b)
ii). f(c) é mínimo local de f se existe um intervalo (a,b), contendo c, tal que f(x)
f(c)
para todo x em (a,b)
Teorema: Se uma função f tem extremo local para um valor c, então f’(c) = 0 ou f’(c) não
existe.
Suponha que uma função f seja derivável, neste caso o seu gráfico admite tangente em
cada ponto, conforme o gráfico abaixo.
No ponto B, de máximo local, e A de mínimo local, a tangente ao gráfico é uma reta
horizontal, paralela ao eixo x. Logo f’(a) = f’(b) = 0 pois o coeficiente angular da reta tangente é a
derivada da função no ponto.
Se f é uma função derivável e xo ponto tal que f’(xo) = 0 ou não exista,dizemos que x0 é
um ponto crítico da função f.
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
95
Portanto da afirmação anterior, concluímos que os máximos e mínimos locais de uma
função ocorrem em pontos críticos da função.
A condição f’(x) = 0 é necessária para que haja máximo ou mínimo local no ponto x,
mas não é suficiente.
Seja por exemplo a função f(x) = x
3. Derivando temos: f’(x) = 3x2, logo f’(x) = 0 e o ponto
de abscissa x = 0 não é nem máximo local nem mínimo local da função.
Definição 3: Um ponto (número) c do domínio de uma função f é ponto crítico de f se, ou
f’(c)=0 ou f’(c) não exista.
Exemplo:
Determine os pontos críticos da função f(x) = 4x
2
– 3x + 2
9.8.2.2 Determinação dos Máximos e Mínimos locais:
1
o
) Calcular a derivada primeira da função f e resolver a equação f’(x)=0, cujas raízes são as
abscissas dos pontos críticos de f.
2
o
) Examinamos cada ponto crítico encontrado afim de verificar se trata-se de extremo ou
não. Para isso, utilizaremos o teste da derivada primeira ou o teste da derivada segunda.
9.8.2.3 Crescimento e Decrescimento de funções:
Teorema: Seja f uma função contínua em um intervalo fechado [a, b] e derivável no
intervalo aberto (a, b).
i). Se f’(x) > 0 para todo x em (a, b) então f é crescente em [a, b]
ii). Se f’(x) < 0 para todo x em (a, b) então f é decrescente em [a, b]
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
96
9.8.2.4 Teste da Derivada Primeira:
Suponhamos que para x = x0 a função f tenha um ponto crítico e sejam a e b muito
próximos de x0 tais que a<x0<b, então:
i). Se tivermos que f’(a) > 0 e f’(b) < 0, então, nesse caso a função passa de crescente a
decrescente e podemos afiram que f(x0) é um máximo local da função.
ii). Se tivermos que f’(a) < 0 e f’(b) > 0, então, nesse caso a função passa de decrescente a
crescente e podemos afirmar que f(x0) é um mínimo local da função.
Exemplos:
1) Seja a função f(x) = x2 -4. Determine os pontos de máximo, de mínimo e de inflexão se
existirem.
2) Seja a função f(x) = - x3 + 8x2 + 12x – 5. Determine os pontos de máximo, de mínimo e de
inflexão se existirem.
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
97
9.8.2.5 Concavidade e Teste da Derivada Segunda:
Teste da Concavidade: Se uma função f é diferenciável em um intervalo aberto contendo c,
então, no ponto P(c, f(c)), o gráfico é:
i). Côncavo para cima se f‖(c) > 0
ii). Côncavo para baixo se f‖(c) <0
Teste da Derivada Segunda: Seja f diferenciável em um intervalo aberto contendo c e
f’(c)=0.
i). Se f‖(c) < 0, então f tem máximo local em c
ii). Se f‖(c) > 0, então f tem mínimo local em c
Se a função f admite derivada segunda nos pontos críticos, e supondo que esta seja contínua
no domínio considerado, podemos empregá-la para examinar cada ponto crítico e classificá-lo.
Seja x0 a abscissa de um ponto crítico, se f‖(x0) > 0, o gráfico de f côncavo para cima para x
próximo de x0, isto é, f tem ai concavidade voltada pra cima e então f(x0) é um mínimo local de f.
Se f‖(x0) < 0, o gráfico de f é côncavo para baixo pra x próximo de x0, isto é, f tem
concavidade voltada pra baixo, e nesse caso, f(x0) é um máximo local de f.
Resumindo:
Mínimo Local:
0)("
0)('
0
0
xf
xf
Máximo Local:
0)("
0)('
0
0
xf
xf
Exemplo:
Determinar os pontos máximos ou mínimos da função f(x) = - x
3
– 3x2 + 9x – 5, se
existirem usando o teste da DERIVADA SEGUNDA.
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
98
AULA 17 - EXERCÍCIOS
1) Ao aquecer um disco circular de metal,
seu diâmetro varia à razão de 0,01 cm/min.
Quando o diâmetro esta com 5 metros, a que
taxa esta variando a área de uma face?
2) Um tanque em forma de cone com vértice
para baixo mede 12 m de altura e tem no topo
um diâmetro de 12 m. Bombeia-se água à taxa
de 4m
3
/min. Ache a taxa com que o nível da
água sobe:
a) quando a água tem 2 m de
profundidade.
b) quando a água tem 8 m de
profundidade.
3) Uma pedra lançada em uma lagoa provoca
uma série de ondulações concêntricas. Se o
raio r da onda exterior cresce uniformemente
à taxa de 1,8 m/s, determine a taxa com que a
área de água perturbada está crescendo:
a) quando r = 3m
b) quando r = 6m
4) Determine as abscissas dos pontos críticos
das funções abaixo:
a) s(t) = 2t
3
+ t
2
– 20t +4
b) f(x) = 4x
3
– 5x2 – 42x + 7
c) g(w) = w
4
– 32w
5) Determine os pontos de máximo, de
mínimo e de inflexão das seguintes funções se
existires, UTILIZANDO O TESTE DA
DERIVADA PRIMEIRA.
a) y = 6x
3
+ 15x
2
– 12x -5
b)
88
7
4
)( 2 xxxf
c) f(x) = - 9x
2
+ 14x +15
6) Determine as abscissas dos pontos
máximos ou mínimos das seguintes funções,
UTILIZANDO O TESTE DA DERIVADA
SEGUNDA.
a) f(x) = x
3
– 12x2 + 45x +30
b) y = 8x
3
– 51x2 -90x +1
c) y = -x
3
– 9x2 + 81x – 6
7) Imagine que a trajetória de uma pedra
lançada ao ar seja um trecho da parábola dada
por y = 5x
2
– 20x (x e y em metros),
determine o ponto máximo da função.
Respostas:
1)
min/
2
5 2cm
2)
min/
4
1
)
min/
4
)
mb
ma
3)
smb
sma
/6,21)
/8,10)
2
2
4)
2)
3
7
2
3)
2
3
5)
wc
exb
eta
5) a) máx x = -2 e min x = 1/3
b) máx x = 7
c) máx x = 7/9
6) a) máx x = 3 e min x = 5
b) máx x = -3/4 e min x = 5
c) máx x = 3 e min x = - 9
7) P(2,- 20)
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
99
AULA 18
10. INTEGRAIS
10.1 INTRODUÇÃO:
Até o momento, nosso problema era; dada a função obter a sua derivada. A partir de
agora, trabalharemos com a pergunta inversa: dada a função de quem ela é derivada?
A operação contrária a diferenciação (ou a derivação) é chamada de antidiferenciação ou
anti-derivada.
Definição: Uma função F é chamada de anti-derivada de uma função f em um intervalo l se
F’(x) = f(x) para todo x em l
Exemplo:
Seja f(x) = 4x
3
+ 2x + 1. F(x) = x
4
+ x
2
+ x é a anti-derivada da função f, pois F’(x0 = f(x).
Mas não existe uma única integral, note por exemplo que: G(x) = x
4
+ x
2
+ x + 5 também é uma
anti-derivada de f pois G’(x) = f9x0
Na verdade,qualquer função definida por H(x) = x
4
+ x
2
+ x + c onde x é uma constante
qualquer, será uma integral de f.
10.1.1 NOTAÇÃO:
A anti-diferenciaçãoé um processo pelo qual se obtém a anti-derivada, mais geral de uma
função encontrada. O símbolo
denota a operação de integral, e escrevemos:
CxFdxxf )()(
onde
)()(' xfxF
A expressão acima é chamada de Integral Indefinida de f. Em lugar de usarmos a expressão
antiderivação para o processo de determinação de F, utilizaremos agora, a expressão Integração
Indefinida.
Para facilitar o nosso processo de obtenção da anti-derivada de uma função, temos algumas
regras, que veremos a seguir.
10.2 INTEGRAIS IMEDIATAS
c
n
x
dxx
n
n
1
1
1)
dxx
5
2)
2x
dx
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
100
3)
3 2x
dx
4)
dxxx)1(
5)
dx
x
x
2
3
2 1
6)
dx
x
xx
2
23 )45(
c
n
v
dvv
n
n
1
1
7)
dxxx
223 3.)2(
8)
xdxxba .
222
cvv
dv
ln
9)
)32( x
dx
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
101
10)
3
2
21 x
dxx
ca
a
dva
v
v
ln
cedve
vv
11)
dxx
e x
2
1
12)
dxe
xx3
13)
dx
ba
ba
xx
xx 2
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
102
cvdvtgv cosln.
ou
cvdvtgv secln.
14)
xdxtg2
cgvvvdv )cotsecln(cosseccos
15)
xdxseccos
ctgvvdv
2sec
16)
dxxx
322 sec
ctgvvvdv )ln(secsec
17)
x
dx
xsec
cxdxtgxx sec..sec
18)
dxx
senx
2cos
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
103
cgxxdx cotseccos
2
19)
x
dx
cos1
c
a
v
arcsen
va
dv
22
ou
c
a
v
va
dv
arccos22
20)
2916 x
dx
c
a
v
arctg
ava
dv
1
22
ou
c
a
v
arc
ava
dv
cot
1
22
21)
94 2x
dx
c
a
v
arc
aavv
dv
sec
1
22
ou
c
a
v
aavv
dv
secarccos
1
22
22)
94 2xx
dx
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
104
c
va
va
ava
dv
ln
2
1
22
23)
19 2x
dx
c
av
av
aav
dv
ln
2
1
22
cavv
av
dv
)ln( 22
22
24)
743 2 xx
dx
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
105
AULA 18 - EXERCÍCIOS
1)
dx
x
x
33
2
)2(
8
2)
dx
xx
x
3
1
2 )6(
)3(
3)
dxxx
42 2
4)
dx
x
x
)ln2(
5)
dx
x
x 2)1(
6)
dxee
xx .)1( 3
7)
dxxxsen .2cos.2
2
8)
dx
tgx
x
2
1
sec
9)
dx
xcb
ax
222
3
10)
xx
dx
ln.
11)
dxxtg .2
12)
22 )( xe
dx
13)
dx
x
xsenx
cos
cos
14)
dxxsen
gx
2
cot
15)
dxx
2)14(sec
16)
dx
xba
tgxx
sec
.sec
17)
dxxsen
x
4
3cos
18)
dxxtg .
4
19)
dxxxtg
2)2sec2(
20)
dxgxtgx
2)cot(
21)
dx
bx
ax
44
22)
294 t
dt
23)
24
.cos
sen
d
24)
14xx
dx
25)
dx
x
x
2
2
1
arccos
26)
dx
x
x
6
2
5
27)
arctgxx
dx
)1( 2
28)
xx ee
dx
29)
dx
x
tgxx
2sec49
.sec
30)
522 xx
dx
31)
23 2xx
dx
32)
2)12(
3
2 xxx
dx
33)
dx
x
xx
21
arccos
34)
dx
xx
x
743
32
2
35)
2627 xx
xdx
36)
21 xx
dx
37)
dx
x
x
94
13
2
38)
dx
xx
x
8129
32
2
39)
dx
xsen
xsen
21
2
40)
x
x
e
dxe
2
2
2
41)
xx
dx
2ln1
42)
xxsen
dx
22 cos32
43)
dxxx
3 23.
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
106
Respostas:
1)
c
x
23 )2(3
4
2)
4
)6(3 3
2
2 xx + c
3)
c
x
6
)21( 2
3
2
4)
c
x
2
)ln2( 2
5)
c
xx
x
5
2
3
4
2
2
5
2
3
2
1
6)
c
ex
4
)1( 4
7)
c
x
6
)2(cos 3
8)
c
tgx
1
1
9)
cxcb
c
a
)ln(
2
3 222
2
10) ln(lnx) + c
11)
cx )2ln(sec
2
1
12)
c
e x
44
1
13)
cxx )ln(sec
l
14)
c
gx
2
)(cot 2
15)
cxxtgxxtg )44ln(sec
2
1
4
4
1
16)
cxba
b
)secln(
1
17)
c
sensenx x
33
11
18)
cxtgx
xtg
3
3
19)
cxxxtg 2sec2
20)
ctgxgx cot
21)
c
b
x
arctg
b
a
2
2
22
22)
c
t
t
32
32
ln
12
1
23)
c
sen
sen
2
2
ln
4
1
24)
cxarc 2sec
2
1
25)
c
x
3
arccos3
26)
c
x
x
3
3
5
5
ln
56
1
27)
carctgx )ln(
28)
carctgex
29)
c
x
arctg
3
sec2
6
1
30)
c
x
arctg
2
1
2
1
31)
cxarcsen )32(
32)
c
x
arc
3
12
sec
33)
cx
x
2
2
1
2
arccos
34)
c
x
x
xx
73
33
ln
30
13
)743ln(
3
1 2
35)
c
x
arcsenxx
6
3
3627 2
36)
cxxx )1
2
1ln( 2
37)
cxxx )942ln(
2
1
94
4
3 22
38)
c
x
arctgxx
2
23
2
1
.
9
13
)8129ln(
9
1 2
39)
cxsen 212
40)
c
e
arctg
x
22
1
41)
c
x
arcsen
1
ln
42)
ctgxarctg
3
2
6
1
43)
3
4
3
7
23
6
1
)23(
21
1
xx
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
107
AULA 19
10.3 INTEGRAIS POR PARTES
duvvudvu ...
1)
dxex
x.
2)
dxxx .ln.
2
3)
dxxx
3 23
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
108
4)
dxxx )1ln(
2
5)
xdxsene
senx 2
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
109
AULA 19 - EXERCICIOS
1)
arcsenxdx
2)
xdxsen
2
3)
xdx
3sec
4)
dxsenxx ..
2
5)
dxex
x ..
23
6)
dxex
x.. 23
7)
dxarctgxx ..
8)
321
.
x
xdx
arcsenx
9)
dxxxtg .sec.
32
10)
dxxarctgx 1.
2
11)
2)1(
.ln
x
dxx
12)
dx
x
x
arcsen
1
Respostas:
1)
cxarcsenxx 21.
2)
c
xsenx
4
2
2
3)
ctgxxtgxx )ln(sec
2
1
.sec
2
1
4)
cxxsenxxx cos22cos.2
5)
cxex )1(
2
1 22
6)
cxxxe x
122
3
4
..
8
3 232
7)
cxxarctgx )1( 2
8)
c
x
x
x
arcsenx
1
1
ln
2
1
1 2
9)
ctgxxxtgxxtgx )ln(sec
8
1
sec
8
1
sec
4
1 3
10)
cxxarctgx 1
2
1
1
2
1 222
11)
c
x
x
x
x
1
ln
)1(
ln
12)
cx
arctgx
x
x
xarcsen
1
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
110
AULA 20
10.4 INTEGRAÇÃO COM APLICAÇÃO DE IDENTIDADES
TRIGONOMÉTRICAS
As identidades seguintes são empregadas no cálculo das integrais trigonométricas do
presente capítulo:
i).
1cos22 xxsen
ii).
xxtg 22 sec1
iii).
xxg 22 seccoscot1
iv).
)2cos1(
2
12 xxsen
v).
)2cos1(
2
1
cos 2 xx
vi).
xsenxsenx 2
2
1
cos
vii).
)()(
2
1
cos yxsenyxsenysenx
viii).
)cos()cos(
2
1
yxyxsenysenx
ix).
)cos()cos(
2
1
coscos yxyxyx
x).
xsenx
2
1
2cos1 2
xi).
xx
2
1
cos2cos1 2
xii).
xsenx
2
1
cos11
Exemplos:
1)
xdxsen
2
2)
xdx3cos
2
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
111
3)
xdxsen
3
4)
xdx
6cos
5)
xdxxsen
22 cos
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
112
6)
xdxsenxsen 2.3
7)
dxxxsen .5cos.3
8)
dxxx .2cos.4cos
9)
dxx .3cos1 2
3
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
113
10)
dxxcos1
11)
xsen
dx
21
12)
dxxtg .
4
13)
xdxg 2cot
3
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
114
AULA 20 - EXERCÍCIOS
1)
xdx
5cos
2)
xdxsen
4
3)
dxxsenx .2.2cos
34
4)
xdxxsen 3cos.3
53
5)
xdxxsen
44 cos.
6)
dx
x
xsen
3 4
3
cos
7)
xdxtg
5
8)
xdx2sec
4
9)
xdxtgx
34 .sec
10)
xdxxtg 2sec.2
33
11)
xdxxtg
44 sec.
12)
xdxg 3cot
4
Respostas:
1)
Cxsenxsensenx 53
5
1
3
2
2)
Cxsenxsenx 4
32
1
2
4
1
8
3
3)
Cxx 2cos
10
1
2cos
14
1 57
4)
Cxx 3cos
18
1
3cos
24
1 68
5)
C
xsen
xsenx
8
8
43
128
1
6)
Cxx
3
5
3
1
cos
5
3
cos3
7)
Cx
xtgxtg
secln
24
24
8)
Cxtgxtg 2
2
1
2
6
1 3
9)
C
xtgxtg
64
64 ou
C
xx
4
sec
6
sec 46
10)
Cxx 2sec
6
1
2sec
10
1 35
11)
C
xtgxtg
75
75
12)
Cxxgxg 3cot
3
1
3cot
9
1 3
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
115
AULA 21
10.5 INTEGRAÇÃO POR FRAÇÕES PARCIAIS
Esta técnica é usada para integrar funções racionais próprias, isto é, funções da forma
)(
)(
)(
xq
xp
xR
, onde p e q são polinomiais e o grau de p(x) é menor que o grau de q(x). A ídéia é
desdobrar o integrando R(x) em uma soma de funções racionais mais simples, que podem ser
integradas.
É fácil verificar que:
1
1
1
1
1
2
2
xxx
A expressão à direita é o que se chama uma decomposição em frações parciais de
1
2
2 x
.
Pode-se usar esta decomposição para calcular a integral indefinida de
1
2
2 x.
Basta integrarmos cada uma das frações da decomposição, obtendo:
dx
x
dx
x
dx
x 1
1
1
1
1
2
2
O desdobramento do integrando pode ser feito de acordo com os casos seguintes:
CASO 1: O denominador de R(x) pode ser decomposto em fatores distintos do 1
o
grau.
Neste caso, a cada fator da forma (ax + b),
*a
e ,
b
, que aparece no denominador,
corresponde uma fração da forma
)( bax
A
.
Exemplos:
)1)(1(
2
)1(
2
2
xxxxx
)1()1()1(
2
2
x
C
x
B
x
A
xx
Calcule
dx
xxx
xx
32
9134
23
2
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
116
CASO 2: O denominador de R(x) pode ser decomposto em fatores repetidos do 1
o
grau. A
cada fator da forma (ax + b) que aparece n vezes no denominador, corresponde uma soma de n
frações da forma:
n
n
bax
A
bax
A
bax
A
)(
...
)( 2
21
Exemplos:
22222 ])1)[(1)(1(
1
)12()1(
1
xxx
x
xxx
x
4222 )1)(1(
1
)12()1(
1
xxxxx
x
4
5
3
4
2
321
222 )1()1()1()1()1()12()1(
1
x
A
x
A
x
A
x
A
x
A
xxx
x
Calcule
dx
xx
xxx
3
23
)2)(1(
429183
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
117
CASO 3: O denominador é constituído por fatores quadráticos distintos e irredutíveis da
forma q(x) = ax
2
+bx + c com a
0 e não pode portanto ser decomposto em fatores do 1
o
grau. A
cada fator q(x) que aparece no denominador, corresponde uma fração da forma
)(xq
BAx
Exemplo:
)1()1()1)(1(
1
2
22
2
11
22
x
BxA
xx
BxA
xxx
Calcule
dx
xxx
xx
482
21
23
2
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
118
CASO 4: O denominador é constituído por fatores quadráticos repetidos e irredutíveis da
forma q(x) = ax
2
+ bx + c com a
0 e não pode portanto ser decomposto em fatores do 1
o
grau. A
cada fator de q(x) que aparece repetido no denominador, corresponde uma soma de frações da
forma
n
nn
xq
BxA
xq
BxA
xq
BxA
)]([
...
)]([)( 2
2211
Calcule
dx
x
xxx
22
23
)1(
3735
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
119
AULA 21 - EXERCICIOS
1)
dxxx
x
)4(
125
2)
dx
xxx
x
)3)(2)(1(
1137
3)
dx
x
x
2)1(
116
4)
dx
xx
x
82
16
2
5)
dx
xx
xx
4
8105
3
2
6)
dx
xx
xx
)5()1(
33252
2
2
Respostas:
1)
Cxx |4|ln2||ln3
2)
Cxxx |3|ln|2|ln5|1|ln4
3)
C
x
x
1
5
|1|ln6
4)
Cxx |2|ln3|4|ln2
5)
Cxxx |2|ln4|2|ln||ln2
6)
Cx
x
x
|5|ln3
1
1
|1|ln5
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
120
AULA 22
10.6 INTEGRAL DEFINIDA:
Teorema fundamental do Cálculo: Seja f uma função contínua em [a, b] e g uma função tal
que g’(x) = f(x) para todo x
[a, b]. Então
b
a
agbgdxxf )()()(
.
A expressão
b
a
dxxf )(
é chamada de Integral Definida de f de a até b.
Em linguagem simples, este teorema nos diz que se g é uma anti-derivada de f, então a
integral definida de a até b de f é dada pela diferença g(b) – g(a).
Os valores de a e b são chamados de limites de integração.
Exemplos:
1) Calcule
3
1
2dxx
2) Calcule
3
1
5dx
3) Calcule
7
0
xdx
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
121
x=1 x=3
10.6.1 INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA:
Vamos agora interpretar geometricamente os exemplos 2 e 3.
1) Seja f(x) = 5 (exemplo 2). Tomemos a região delimitada por (x), o eixo x e as retas x = 1 e x = 3.
Temos um retângulo de base 2 e altura 5, cuja área é dada por:
A1 = b.h = 2x5 = 10u.a (como no exemplo 2)
2) Seja f(x) = x (exemplo 3). Tomaremos a região delimitada pelo eixo x, a função f(x) = x e as retas
x = 0 e x = 7.
Temos um triângulo de base 7 e altura 7, cuja área é dada por
auA .
2
49
2
77
2
.
Os fatos observados nestes exemplos não são mera coincidência. Na verdade, se f(x)>0
para x
[a,b], então
b
a
dxxf )(
nos fornece a área limitada por f(x) pelas retas x =a e x = b e o eixo
x.
1 3 7
x
y
1
f(x)=x
7
3
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
122
3) Tomemos agora um exemplo em que f(x) < 0 em [a, b]
1
3
)1( dxx
2)3(
2
3
)1(
2
1
2
22
1
3
2
x
x
A região delimitada por y = (x+1), pelo eixo x e as retas x = - 3 e x = - 1 é apresentada
abaixo:
Note que A3 é um triângulo de base 2 e altura 2, assim,
..
2
22
3 auA
Assim, vemos que
1
3
3 )( dxxfA
.
Em geral se f(x)<0 em [a, b] a área delimitada por f(x), o eixo x e as retas x = a e x=b é
dada por
b
a
dxxfA )(
.
10.6.2 PROPRIEDADES DAS INTEGRAIS DEFINIDAS
1. Se uma função f é integrável no intervalo fechado [a, b], e se k é uma constante qualquer,
então:
b
a
b
a
dxxfkdxxfk )()(.
Exemplo:
Calcule o valor da integral
3
0
5xdx
1
-1
-
- 2
-
- 3
1
x
y
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
123
2. Se as funções f e g são integráveis no mesmo intervalo fechado [a,b] então f + g é
integrável em [a, b] e:
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([
Exemplo:
Calcule o valor da integral
5
3
2 1 dx
x
x
3. Se a função f é integrável nosintervalos fechados [a, b], [a, c] e [c, b] então:
b
a
c
a
b
c
dxxfdxxfdxxf )()()(
Exemplo:
Calcule o valor da integral
3
2
xdx
AULA 22 - Exercícios
Encontre o valor das integrais definidas
abaixo:
1)
2
0
2dxx
2)
2
1
3dxx
3)
4
1
2 )54( dxxx
4)
2
2
3 )1( dxx
5)
1
1
3
1
3
4
4 dxxx
6)
4
3
)2( dxx
7)
5
1 13x
dx
8)
3
3
6 )3( dttt
9)
4
0 2 9x
xdx
10)
5
0
4dxx
11)
1
0
3 78 dxx
Respostas:
1)
3
8
2)
4
15
3) 66
4) 4
5)
7
6
6)
2
35
7)
17
3
22
8)
7
4374
9) 2
10)
3
38
11)
5
3
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
124
AULA 23
10.6.3 APLICAÇÕES DE INTEGRAL DEFINIDA
10.6.3.1 CÁLCULO DE ÁREAS DE UMA REGIÃO PLANA
Se f é uma função contínua em um intervalo fechado [a, b] e se f(x)
0 para todo x em [a,
b], então temos que o número que expressa a área da região limitada pela curva y = f(x), o eixo x e
as retas x = a e x = b é dada por, em unidades quadradas:
b
a
dxxfA )(
Por conveniência, referimo-nos à região R como a região sob o gráfico f de a até b.
y
x
a b
Exemplos:
1) Encontre a área limitada pela curva y = x
2
, o eixo x e as retas x = -1 e x = 2.
x x=1 x=2
y
Área = R
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
125
4
x
y
-2 2
2) Encontre a área limitada pela curva y = x
2
– 4, o eixo x e as retas y = - 2 e x = 2
3) Calcule a área limitada pelas curvas y = x2 + 1, y = - x2 - 1 e as retas x = -1 e x = 3.
- 10
10
3 -1
A1
A2
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
126
4) Calcule a área da região definida pela curva y = x
2
– 4, o eixo x e as retas x = - 4 e x = 2
y
2
4
- 2 -4
12
x
A2
A1
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
127
a b
g(x)
10.6.3.2 ÁREA DA REGIÃO LIMITADA POR DUAS FUNÇÕES:
Nesta seção, consideraremos a região que esta entre os gráficos de duas funções.
Se f e g são contínuas em f(x)
g(x)
0 para todo x em [a, b], então a área A da região R,
limitada pelos gráficos de f, g, x =a e x = b, pode ser calculada subtraindo-se a área da região sob o
gráfico de g (fronteira inferior de R) da área da região sob o gráfico de f (fronteira superior de R):
b
a
b
a
dxxgxdxxfA )()(
ou
b
a
dxxgxf )]()([
Suponha que desejamos calcular a área A delimitada por duas curvas f(x) e g(x) e as retas
x = a e x = b, como ilustra a figura abaixo:
Note que a área pode ser obtida pela diferença das áreas A1 – A2
Sendo
b
a
dxxfA )(1
e
b
a
dxxgA )(2
A = A1 – A2
A
b
a
dxxf )(
b
a
dxxg )(
b
a
dxxgxfA )]()([
a b
f(x)
g(x)
f(x)
a b
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
128
Assim verificamos que é válido o teorema a seguir:
Teorema: se f e g são contínuas e f(x)
g(x)
0 para todo x em [a, b], então a área A da
região delimitada pelos gráficos de f, g, x = a e x = b é:
b
a
dxxgxfA )]()([
Diretrizes pra encontrar a área de uma região R limitada por duas funções:
Esboçar a região, designando por y = f(x) a fronteira superior e por y = g(x) a fronteira
inferior.
Encontrar os pontos de intersecção (a e b) entre as duas funções (sistema de equações)
Calcular a integral
b
a
dxxgxfA )]()([
Exemplos:
1) Encontre a área A limitada pela curva f(x) = x
2
+ 2 e g(x) = 1 no intervalo de [-2, 3]
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
129
2) Encontre a área A da região limitada pelas curvas y = x
2
e y = -x
2
+ 4x.
AULA 23 – Exercícios
Encontre a área delimitada pelas
curvas e as retas dadas.
1) y = 4x – x2, o eixo x, as retas x
= 1 e x=3.
2) y = 8x-x2, o eixo x, as retas x=
0 e x=4.
3) y = x2 + 1 e y =5
4) y = x2 e y = 4x
5) y = 1 – x2 e y = x – 1
6) y = senx, o eixo x, x = 0 e
radx
2
7) y = senx, o eixo x, x = 0 e x =
2
rad
8) y = cosx, o eixo x, x = 0 e x =
2
rad
9) y = x e y = x2 com 0
2 x
10) y = x2 e y =
x
Respostas:
1)
au.
3
22
2)
...
3
128
au
3)
au.
3
32
4)
au.
3
32
5)
au.
2
9
6)
1
u.a.
7) 4 u. a 8) 4 u. a
9) 1 u. a. 10)
..
3
1
au
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130
AULA 24
10.6.3.3 VOLUME DE UM SÓLIDO DE REVOLUÇÃO:
Definição 1: Um sólido de revolução é um sólido gerado pela rotação de uma região do
plano em torno de uma reta no plano, chamada de eixode revolução.
Exemplo: Ao girarmos o triângulo abaixo em torno do eixo y, obtemos um cone de
revolução.
Definição 2: Seja f uma função contínua no intervalo fechado [a, b]. Se S for o sólido obtido
pela rotação, em torno do eixo x da região limitada pela curva y = f(x), o eixo x e as retas x = a e x
= b e se V for o número de unidades cúbicas do volume de S, então:
b
a
dxxfV 2)]([
Exemplo:
Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região plana limitada pela curva
2xy
e as retas x = 2 e x = 3 em torno do eixo x.
y
x
y
x
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
131
Definição 3: Seja uma região R do plano limitada pelos gráficos de x = a, x = b e pelos
gráficos de duas funções contínuas f e g, com f(x)
g(x)
0 para todo x em [a, b]. Então o
volume do sólido gerado pela rotação da região R em torno do eixo x é dado por:
b
a
dxxgxfV 22 )()(
Exemplo:
Encontre o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo x, da região limitada
pela parábola y = x
2
+ 1 e a reta y = x + 3
AULA 24 – Exercícios
1) Seja f(x) = x
2
+ 1, determine o volume do
sólido gerado pela rotação em torno do eixo x,
da região do plano limitada por f(x), pelo eixo
x e as retas x = -1 e x = 1.
2) Seja
x
xf
1
)(
, determine o volume do
sólido gerado pela rotação em torno do eixo x,
da região limitada por f(x), pelo eixo x e as
retas x = 1 e x = 3.
3) Seja f(x) = x
2
– 4x, determine o volume
do sólido gerado pela rotação em torno do
eixo x, da região do plano limitada por f(x) e
pelo eixo x.
4) Em cada um dos exercícios abaixo esboce
a região R delimitada pelos gráficos das
equações dadas e determine o volume do
sólido gerado pela rotação de r em torno do
eixo x.
a) y = x
2
, y = 4 – x2
b) y = 2x, y = 6, x = 0
c)
2
x
y
, y = 4, x = 1
Respostas:
1)
..
15
56
vu
2)
..
3
2
vu
3)
..
15
512
vu
4) a)
..
3
264
vu
b)
72
u.v.
c)
..
12
833
vu
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
132
AULA 25
11. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
11.1 INTRODUÇÃO
Antes de mais nada, vamos recordar o que foi aprendido em Cálculo!!! A derivada
dxdy
de uma função nada mais é do que uma outra função encontrada por uma regra
apropriada. Como por exemplo, a função
é diferenciável no intervalo , e a sua
derivada é
2x x3.e
dx
dy 3
. Se fizermos 3xey teremos:
2x3.y
dx
dy
(1)
Vamos supor agora que seu professor lhe desse a equação (1) e perguntasse qual é a função
representada por y? Apesar de você não fazer ideia de como ela foi construída, você está a frente de
um dos problemas básicos desta disciplina: como resolver essa equação para a desconhecida função
? O problema é semelhante ao familiar problema inverso do cálculo diferencial, onde
dada uma derivada, encontrar uma antiderivada.
Não podemos deixar de lado a diferença entre a derivada e a diferencial, pois, embora a
derivada e a diferencial possuam as mesmas regras operacionais, esses dois operadores têm
significados bastante diferentes. As diferenças mais marcantes são:
a derivada tem significado físico e pode gerar novas grandezas físicas, como por
exemplo a velocidade e a aceleração; a diferencial é um operador com propriedades
puramente matemáticas;
a derivada transforma uma função em outra, mantendo uma correspondência entre os
pontos das duas funções (por exemplo, transforma uma função do segundo grau em uma
função do primeiro grau); a diferencial é uma variação infinitesimal de uma grandeza;
a derivada é uma operação entre duas grandezas; a diferencial é uma operação que
envolve uma grandeza;
o resultado de uma derivada não contém o infinitésimo em sua estrutura;
consequentemente, não existe a integral de uma derivada; a integral só pode ser aplicada
a um termo que contenha um diferencial (infinitésimo);
se for feito o quociente entre os dois diferenciais, tem-se:
dx
dy
em total semelhança com a definição de derivada. A consequência direta desse fato é que a
derivada não é o quociente entre duas diferenciais, mas comporta-se como se fosse esse
quociente. Isto significa que a partir da relação:
)x(f
dx
dy
é possível escrever:
dx)x(fdy
que se denomina equação diferencial.
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
133
uma das aplicações mais importantes envolvendo derivadas e diferenciais é a obtenção
da equação diferencial, etapa fundamental para a introdução do Cálculo Integral.
11.2 Definição
Equação diferencial é uma equação que relaciona uma função e suas derivadas ou
diferenciais. Quando a equação possui derivadas, estas devem ser passadas para a forma diferencial.
Exemplo 1:
1)
13 x
dx
dy
2)
0 ydxxdy
3)
0y2
dx
dy
3
dx
yd
2
2
4)
xyyy cos')"(2'" 2
5)
2 3 2( ") ( ') 3y y y x
6)
y3x5
dt
dy
dt
dx
7)
yx
y
z
x
z 2
2
2
2
2
8)
y
z
xz
x
z
11.3 CLASSIFICAÇÃO
11.3.1 TIPO:
Se uma equação contiver somente derivadas ordinárias de uma ou mais variáveis
dependentes em relação a uma única variável independente, como em (1) a (6), as derivadas são
ordinárias e a equação é denominada equação diferencial ordinária (EDO). Uma ED pode conter
mais de uma variável dependente, como no caso da equação (6)
Uma equação que envolve as derivadas parciais de uma ou mais variáveis dependentes de
duas ou mais variáveis independentes, como em (7) e (8), a equação é denominada equação
diferencial parcial (EDP).
11.3.2 ORDEM:
A ordem de uma equação diferencial é a ordem de mais alta derivada que nela aparece. As
equações (1), (2) e (6) são de primeira ordem; (3), (5) e (7) são de segunda ordem e (4) é de terceira
ordem.
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
134
11.3.3 GRAU:
O grau de uma equação diferencial, que pode ser escrita, considerando a derivadas, como
um polinômio, é o grau da derivada de mais alta ordem que nela aparece. Todas as equações dos
exemplos acima são do primeiro grau, exceto (5) que é do segundo grau.
As equações diferenciais parciais serão vista mais adiante.
Exemplo 2:
1
3dx
y3d
y
3dx
y3d
x
3dx
y3d
y
2
3dx
y3d
x
3
a
ordem e 2
o
grau
yx
dx
dy
2lnln
y
x
dx
dy
2
ln
ye
dx
dy
.
2x
1
ye2x
dx
dy
1
a
ordem e 1
o
grau
Observe que nem sempre à primeira vista, pode-se classificar aequação de imediato
quanto a ordem e grau.
11.3.4 LINEARIDADE:
Dizemos que uma equação diferencial ordinária
)()()()()(
011
1
1
xgyxa
dx
dy
xa
dx
yd
xa
dx
yd
xa
n
n
nn
n
n
de ordem n é linear quando são satisfeitas as seguintes condições:
1) A variável dependente y e todas as suas derivadas y', y", ... y
n
são do primeiro grau, ou
seja, a potência de cada termo envolvendo y é um.
2) Os coeficientes a0, a1, ... an de y, y', ... y
n
dependem quando muito da variável
independente x.
Exemplo 3:
1)
08)( xdydxxy
2)
0y
dx
dy
7
dx
yd
2
2
3)
xy
dx
dy
x
dx
yd
245
3
3
São respectivamente equações diferenciais ordinárias lineares de primeira, segunda e
terceira ordem.
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
135
11.4 ORIGEM DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS:
Uma relação entre as variáveis, encerrando n constantes arbitrárias essenciais, como
Cxxy 4
ou
BxAxy 2
, é chamada uma primitiva. As n constantes, representadas sempre
aqui, por letras maiúsculas, serão denominadas essenciais se não puderem ser substituídas por um
número menos de constantes.
Em geral uma primitiva, encerrando n constantes arbitrárias essenciais, dará origem a uma
equação diferencial, de ordem n, livre de constantes arbitrárias. Esta equação aparece eliminando-se
as n constantes entre as (n + 1) equações obtidas juntando-se à primitiva as n equações
provenientes de n derivadas sucessivas, em relação a variável independente, da primitiva.
Exemplo 4:
Obter a equação diferencial associada às primitivas abaixo:
a)
Cx
x
y
2
3 2
b) y = C1 sen x + C2 cos x
c) y = Cx
2
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136
d) y = C1 x
2
+ C2
e) y = a cos(x + b) onde a e b são constantes
f) y = C1 e
3x
+ C2 e
- 2x
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
137
AULA 25 - EXERCÍCIOS
1) Sendo dadas as curvas seguintes,
determinar para cada uma delas a equação
diferencial de menor ordem possível que
não contenha nenhuma constante
arbitrária.
a) x2 + y2 = C2
b) y = C ex
c) x3 = C (x2 – y2)
d) y = C1 cos 2x + C2 sen 2x
e) y = (C1 + C2x) e
x
+ C3
f) y = C1 e
2x
+ C2 e
- x
g)
ay
y
x
1ln
h) x2y3 + x3y5 = C
i) y = Ax2 + Bx + C
j) y = Ae2x + Bex + C
k) y = C1e
3x
+ C2e
2x
+ C3 e
x
l) ln y = Ax2 + B
2) Obter a equação diferencial da família de
círculos de raio 10, cujos centros estejam
sobre o eixo y.
Respostas:
a)
0ydyxdx
b)
0y
dx
dy
c)
dx
dy
xy2xy3 22
d)
04
2
2
y
dx
yd
e)
0
dx
dy
dx
yd
2
dx
yd
2
2
3
3
f)
0y2
dx
dy
dx
yd
2
2
g)
0ln y
dx
dy
y
x
x
h)
0
dx
dy
x5y3xy
dx
dy
x3y2 2
i)
0
dx
yd
3
3
j)
0
dx
dy
2
dx
yd
3
dx
yd
2
2
3
3
k)
0y6
dx
dy
11
dx
yd
6
dx
yd
2
2
3
3
l)
2" ' ( ') 0xyy yy x y
2)
2
22
x100
x
dx
dy
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
138
AULA 26
11.5 RESOLUÇÃO
Resolver uma ED é determinar todas as funções que, sob a forma finita, verificam a
equação, ou seja, é obter uma função de variáveis que, substituída na equação, transforme-a numa
identidade. A resolução de uma equação diferencial envolve basicamente duas etapas: a primeira,
que é a preparação da equação, que consiste em fazer com que cada termo da equação tenha, além
de constantes, um único tipo de variável. A segunda etapa é a resolução da equação diferencial e
consiste na aplicação dos métodos de integração.
11.5.1 CURVAS INTEGRAIS:
Geometricamente, a primitiva é a equação de uma família de curvas e uma solução
particular é a equação de uma dessas curvas. Estas curvas são denominadas curvas integrais da
equação diferencial.
Exemplo 5:
x
dx
dy
2
11.5.2 SOLUÇÃO:
É a função que quando substituída na equaçãodiferencial a transforma numa identidade. As
soluções podem ser:
Solução geral: A família de curvas que verifica a equação diferencial, (a primitiva de
uma equação diferencial) contem tantas constantes arbitrárias quantas forem as unidades
de ordem da equação.
Solução particular: solução da equação deduzida da solução geral, impondo condições
iniciais ou de contorno. Geralmente as condições iniciais serão dadas para o instante
inicial. Já as condições de contorno aparecem quando nas equações de ordem superior os
valores da função e de suas derivadas são dadas em pontos distintos.
Solução singular: Chama-se de solução singular de uma equação diferencial à
envoltória da família de curvas, que é a curva tangente a todas as curvas da família. A
solução singular não pode ser deduzida da equação geral. Algumas equações diferenciais
não apresentam essa solução. Esse tipo de solução será visto mais adiante.
As soluções ainda podem ser:
Solução explícita: Uma solução para uma EDO que pode ser escrita da forma
)x(fy
é
chamada solução explícita.
Solução Implícita: Quando uma solução pode apenas ser escrita na forma
0)y,x(G
trata-se de uma solução implícita.
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
139
Exemplo 6:
Consideremos a resolução da seguinte EDO:
x1
dx
dy
c2
3
x
3
2
xy
dxx1dy
A solução geral obtida é obviamente uma solução explicita.
Por outro lado, pode-se demonstrar que a EDO:
2
2
xxy
y
dx
dy
tem como solução: xyCey , ou seja, uma solução implícita.
Exemplo 7:
Verifique que
16
x
y
4
é uma solução para a equação
2
1
xy
dx
dy
no intervalo
),(
.
Resolução:
Uma maneira de comprovar se uma dada função é uma solução é escrever a equação
diferencial como
0xy
dx
dy 2
1
e verificar, após a substituição, se a diferença acima
2
1
xy
dx
dy
é
zero paratodo x no intervalo.
4
x
dx
dy
16
x4
dx
dy 33
Substituindo na E.D., temos
0
4
x
4
x
0
4
x.x
4
x
0
16
x
x
4
x 33232
1
43
Esta condição se verifica para todo
Rx
11.5.3 PROBLEMA DE VALOR INICIAL (PVI)
Seja a equação diferencial de primeira ordem
)y,x(f
dx
dy
sujeita a condição inicial
00 y)x(y
, em que
0x
é um número no intervalo I e
0y
é um número real arbitrário, é chamado de
problema de valor inicial. Em termos geométricos, estamos procurando uma solução para a equação
diferencial definida em algum intervalo I tal que o gráfico da solução passe por um ponto (xo, yo)
determinado a priori.
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
140
Exemplo 8:
Seja
xe.cy
a família a um parâmetro de soluções para y'=y no intervalo
),(
. Se
especificarmos que y(0) = 3, então substituindo x = 0 e y = 3 na família, temos:
x0 e.3ye3ce.c3
Se especificarmos que y(1) = 3, então temos:
1xx111 e3ye.e3yee.3ce.c3
Será que a equação diferencial
)y,x(f
dx
dy
possui uma solução cujo gráfico passa pelo
pelo ponto (xo, yo)? Ainda, se esta solução existir, é única?
Exemplo 9:
As funções y = 0 e
16
x
y
4
são soluções para o problema de valor inicial
0)0(y
xy
dx
dy 2
1
Podemos observar que o gráfico destas soluções passam pelo ponto (0,0). Desta forma,
deseja-se saber se uma solução existe e, quando existe, se é a única solução para o problema.
11.5.4 TEOREMA DA EXISTÊNCIA DE UMA ÚNICA SOLUÇÃO
Seja R uma região retangular no plano
xy
definida por
bxa
,
dyc
, que contém o
ponto
)y,x( 00
em seu interior. Se
)y,x(f
e
dy
df
são contínuas em r, então existe um intervalo I,
centrado em x0 e uma única função y(x) definida em I que satisfaz o problema de valor inicial
)y,x(f
dx
dy
, sujeito a
00 y)x(y
.
Três perguntas importantes sobre soluções para uma EDO.
1. Dada uma equação diferencial, será que ela tem solução?
2. Se tiver solução, será que esta solução é única?
3. Existe uma solução que satisfaz a alguma condição especial?
Para responder a estas perguntas, existe o Teorema de Existência e Unicidade de solução
que nos garante resposta para algumas das questões desde que a equação tenha algumas
características.
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
141
Teorema: Considere o problema de valor inicia
00 )(
)()(
yxy
xqyxp
dx
dy
Se p(x) e q(x) são continuas em um intervalo aberto I e contendo x
0
, então o problema de
valor inicial tem uma única solução nesse intervalo.
Alertamos que descobrir uma solução para uma Equação Diferencial é algo ―similar‖ ao
cálculo de uma integral e nós sabemos que existem integrais que não possuem primitivas, como é o
caso das integrais elípticas. Dessa forma, não é de se esperar que todas as equações diferenciais
possuam soluções.
11.6 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS AUTÔNOMAS
As equações diferenciais da forma
yf
dx
dy
(2)
são chamadas de autônomas.
Utilizando a manipulação formal introduzida por Liebnitz (1646-1716), podemos escrever a
equação (2) na forma:
)(
1
yfdx
dy
(3)
Cuja resolução é:
y
y
dy
yf
yxyx
0
)(
1
)()(
0
(4)
Para justificar a equação (4) necessitamos que
)(
1
yf
seja bem definida no intervalo de
interesse A, onde
0)( yf
e que seja contínua neste intervalo A. Pois, como
0
)(
1
yfdy
dx
em
A
, o Teorema da Função Inversa garante que existe uma função inversa da função
)(yx
, isto é,
)(xFy
tal que
)(yf
dx
dF
em
A
, o que justifica o procedimento formal.
Portanto, a solução do problema de condição inicial
00
)(
)(
yxy
yf
dx
dy (5)
é obtida pela solução do problema
00
)(
)(
1
xyx
yfdy
dx
(6)
e com a inversão da função
)(yx
.
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
142
As equações autônomas aparcem na formulação de uma grande quantidade de modelos.
Sempre que uma lei de formação afrma que: “a taxa de variação de uma quantidade y(t) é
proporcional a esta mesma quantidade”, temos uma equação autônoma da forma
ky
dx
dy
(7)
Como,
kyyf )(
, então
0*)( yf
se
0*y
. Devemos procurar soluções separadamente
nos dois intervalos
0 y
e
y0
.
Considerando inicialmente o problema de Cauchy
0)(
00
yxy
ky
dx
dy (8)
E seu problema inverso
00
)(
1
xyx
kydy
dx
(9)
Cuja solução inversa é dada por
y
yxyx
y
y
k
xyy
k
xdy
ky
xCdy
ky
yx
000
0
0000
)(
ln
1
lnln
111
)(
ou seja,
)(
00
0
0)(ln
xxk
eyyxxk
y
y
para
x
R.
Exemplo 10:
Considere a equação autônoma
aky
dx
dy
sua solução geral, para
k
a
y
, é obtida considerando-se sua forma diferencial
Caky
k
x
dxdy
aky
dxdy
aky
ln
1
1
1
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
143
Portanto,
k
a
yea
k
yeaky CxkCxk ,
1 )()(
Neste caso,
k
a
y
e a solução de equilíbrio.
11.7 EQUAÇÕES DE PRIMEIRA ORDEM E PRIMEIRO GRAU
São equações de 1
a
ordem e 1
o
grau:
),( yxF
dx
dy
ou
0 NdyMdx
em que M = M(x,y) e N = N(x,y).
Estas funções têm que ser contínuas no intervalo considerado (- ∞, ∞)
11.7.1 EQUAÇÕES DE VARIÁVEIS SEPARÁVEIS
A equação diferencial
0),(),( dyyxNdxyxM
será de variáveis separáveis se:
M e N forem funções de apenas uma variável ou constantes.
M e N forem produtos de fatores de uma só variável.
Isto é, se a equação diferencial puder ser colocada na forma
0)()( dyyQdxxP
, a
equação é chamada equação diferencial de variáveis separáveis.
11.7.1.1 Resolução:
Para resolvermos tal tipo de equação diferencial, como o próprio nome já diz, deveremos
separar as variáveis, isto é, deveremos deixar o coeficiente da diferencial dy como sendo uma
função exclusivamente da variável y, e então integramos cada diferencial, da seguinte forma:
CdyyQdxxP ).().(
Exemplos:
Resolver as seguintes equações:
1)
13 x
dx
dy
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
144
2) y dx – x dy = 0
3)
0
4
dy
y
x
xdx
4)
0secsec. xdytgyydxtgx
5)
01)1( 222 dyxdxyx6)
xyx
y
dx
dy
)1(
1
2
2
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
145
7)
2
2
1
1
x
y
dx
dy
8) Resolva o problema de valor inicial
1)0(y,4y
dx
dy 2
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146
AULA 27 – Exercícios
1) Verifique que
xxey
é uma solução para
a equação
0y'y2"y
no
intervalo
),(
.
2) Verificar que para qualquer valor de c1 a
função
1
x
c
y
é uma solução da
equação diferencial de 1
a
ordem
1y
dx
dy
x
no intervalo
),0(
.
3) Verificar que
xey
,
xey
,
x
1eCy
,
x
2eCy
e
x
2
x
1 eCeCy
são
todas soluções da equação diferencial
0y"y
.
Resolver as seguintes equações diferenciais.
4)
0
dx
dy
.tgy
x
1
5) 4xy
2
dx + (x
2
+ 1) dy = 0
6) (2+ y) dx - (3 – x) dy = 0
7) xy dx – (1 + x2) dy = 0
8)
42
2
x
e
dx
dy y
9) (1 + x
2
) y
3
dx + (1 – y2) x3 dy = 0
10)
dx
dy
xyy
dx
dy
xa
2
11) sec
2
x tg y dx + sec
2
y tg x dy = 0
12) (x
2
+ a
2
)(y
2
+ b
2
)dx + (x
2
– a2)(y2 – b2)dy
= 0
13) (x – 1) dy – y dx = 0
14) (1 + x
2
)dy – xydx = 0
15)
0cos xy
dx
dy
16)
xcosy3
dx
dy
17)
0dye)2y(dxxy
x324
Respostas:
1) Esta condição se verifica para todo
número real.
2) Variando o parâmetro C, podemos gera
uma infinidade de soluções. Em
particular, fazendo c = 0, obtemos uma
solução constante y = 1. Logo a função
1
x
c
y
é uma solução em qualquer
intervalo que não contenha a origem.
3) Note que
x
1eCy
é uma solução para
qualquer escolha de c1, mas
0C,Cey 11
x
não satisfaz a
equação, pois, para esta família de função
temos y" - y = - C1
4) x cos y = C
5)
C
y
1
)1xln(2 2
6) (2 + y)(3 – x) = C
7) C y
2
= 1 + x
2
8)
C
2
x
arctge y2
9)
C
y
1
x
1
2
1
y
x
ln
22
10) yyka aex ln2
11) tg x . tg y = C
12)
C
b
y
arctg.b2y
ax
ax
lnax
13) y = c(x – 1)
14)
C.x1y 2
15)
senxe
K
y
16)
senx3Cey
17)
C
y
6
y
9
)1x3(e
3
x3
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147
AULA 27
11.8 EQUAÇÕES HOMOGÊNEAS
11.8.1 FUNÇÃO HOMOGÊNEA
Uma função f = f(x, y) é denominada homogênea de grau k se, para todo t
R, vale
a relação f(tx, ty) = t
k
f(x, y). Uma função f = f(x, y) é homogênea de grau 0 se, para todo t
R, vale a relação f(tx, ty) = f(x, y)
Exemplos:
1) A função f(x, y) = x
2
+ y
2
é homogênea de grau 2,
pois
)y,x(ft)yx(tytxt)ty()tx()ty,tx(f 2222222222
2)
4
y
x
)y,x(g
2
2
é homogênea de grau zero pois,
)y,x(ft4
y
x
t4
y
x
4
yt
xt
4
)ty(
)tx(
)ty,tx(g 0
2
2
0
2
2
22
22
2
2
3) f(x,y) = 2x
3
+ 5xy
2
é homogênea de grau três pois,
)y,x(ft)xy5x2(txyt5xt2)ty(tx5)tx(2)y,x(f 3233233323
Se f(x, y) for uma função homogênea de grau n, note que podemos escrever
x
y
,1fx)y,x(f n
e
1,
y
x
fy)y,x(f n
são ambas homogêneas de grau n.
Exemplo:
Seja
22 yxy3x)y,x(f
homogênea de grau 2. Logo,
x
y
,1fx
x
y
x
y
.31x
x
y
x
y3
1x)y,x(f 2
2
2
2
2
2
1,
y
x
fy1
y
x
3
y
x
y1
x
y3
y
x
y)y,x(f 2
2
2
2
2
2
11.8.2 EQUAÇÃO HOMOGÊNAS
A equação
0dy)y,x(Ndx)y,x(M
será chamada de equação diferencial
homogênea se M e N forem funções homogêneas de mesmo grau.
Exemplos:
1)
xy
yx
dx
dy 22
2)
2
2
'
y
x
y
3)
x
y
arctgy'
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148
11.8.2.1 Resolução:
Seja a equação homogênea Mdx + Ndy = 0
Tem-se:
N
M
dx
dy
Dividindo-se o numerador e o denominador do segundo membro por x elevado a
potencia igual ao grau de homogeneidade da equação, resultará uma função de y/x.
x
y
F
dx
dy (1)
É necessário, no entanto, substituir a função y/x por uma outra que permita separar as
variáveis.
Dessa forma, substitui-se
x
y
por u.
xuy .
(2)
Derivando y=x.u em relação ax tem-se
dx
du
xu
dx
dy
(3)
Substituindo (2) e (3) em (1), temos:
x
dx
uuF
du
uuF
dx
du
x
uF
dx
du
xu
)(
)(
)(
Que é uma equação de variáveis separáveis.
Em resumo:
Pode-se resolver uma Equação Diferencial Homogênea, transformando-a em uma
equação de variáveis separáveis com a substituição y = x.u, onde u = u(x) é uma nova função
incógnita. Assim, dy = xdu + udx é uma equação da forma y’ = f(x, y) pode ser transformada
em uma equação separável.
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
149
Exemplo:
(x
2
– y2) dx – 2xy dy = 0
AULA 27 – Exercícios
Resolva as seguintes equações:
1) (x – y) dx – (x + y) dy = 0
2) (2x – y) dx – (x + 4y) dy = 0
3) (x2 + y2) dx + (2x + y)y dy = 0
4) (x + y) dx + (y – x) dy = 0
5) (x2 + y2) dx – xy dy = 0
6)
044
2
2
2
2
dx
dy
yxy
dx
dy
y
7) Determine a solução de (x2 – 3y2)dx +
2xydy = 0 sujeita a condição inicial
1)2(y
.
8) Determine a solução de
0xydy6dx)y3x2( 22
sujeita a
condição inicial
3
1
)1(y
Respostas:
1) y2 + 2xy – x2 = K
2)
Kyyxx 22 422
3) y3 + 3xy2 + x3 = k
4)
C
x
y
arctgyx
ou
x
y
arctgyxC
22
22
1
ln
ln
5) 2
2
2 x
y
kex
6) Cxyx 23 22
7)
xxy
8
3
1
8) 1xy9x2 23
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150
AULA 28
11.9 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS EXATAS
Uma equação do tipo M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 (1) é denominada diferencial exata,
se existe uma função U(x,y) tal que dU(x,y) = M(x,y)dx + N(x,y)dy. A condição necessária e
suficiente para que a equação (1) seja uma diferencial exata é que:
x
N
y
M
Dada a equação diferencial exata Mdx+Ndy=0 (1) e seja u=f(x,y)=C sua solução,
cuja diferencial dada por:
dy
y
u
dx
x
u
du
(2)
Então, comparando (1) e (2) teremos:
),( yxM
x
u
(3)
e
),( yxN
y
u
(4)
Para obtermos a sua solução u=f(x,y) deveremos integrar, por exemplo,a expressão
(3), em relação à variável x, da qual teremos
)(),(),( ygdxyxMyxf
(5)
Derivando parcialmente (5) em relação à y teremos:
)('
),(
yg
y
dxyxM
y
f
(6)
Igualando (6) e (4) resulta:
),()('
),(
yxNyg
y
dxyxM
.
Isolando g’(y) e integrando em relação a y acharemos:
1
),(
),()( Cdy
y
dxyxM
yxNyg
(7)
Substituindo (7) em (5) teremos a solução geral da equação exata, que é:
Cdy
y
dxyxM
yxNdxyxMyxf
),(
),(),(),(
Logo, a solução é da forma
Cdy
y
P
NMdxyxU ),(
onde costuma-se denotar
MdxP
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
151
Exemplos:
1) (x
2
– y2)dx – 2xy dy = 0
2) (2x – y + 1) dx – (x + 3y – 2) dy = 0
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
152
11.9.1 FATOR INTEGRANTE
Nem sempre a ED é exata, ou seja, Mdx + Ndy = 0 não satisfaz, isso é:
x
N
y
M
.
Quando isso ocorre vamos supor a existência de uma função F(x, y) que ao
multiplicar toda a ED pela mesma resulta em uma ED exata, ou seja, F(x,y)[Mdx +Ndy] = 0,
e esta é uma ED exata.
Se ela é exata, existe u(x,y) = cte e
MF
dx
u
.
e
NF
dy
u
.
e
FN
x
FM
yx
N
y
M
yx
u
2
Tomando a condição de exatidão
FN
dx
FM
y
F
x
N
N
x
F
F
y
M
M
y
F
e achar F por aqui é loucura!!!!!!!
Vamos supor então que F(x,y) = F(x)
x
N
FN
x
F
y
M
F
dividindo tudo por FN
0 e organizando,
temos:
x
N
Nx
F
Fy
M
N
111
x
N
Ny
M
Nx
F
F
111
x
N
y
M
Nx
F
F
11
reescrevendo:
dx
x
N
y
M
N
dF
F
11
integrando:
CdxxRF )(ln
dxxR
exF
)(
.)(
onde:
x
N
y
M
N
xR
1
)(
analogamente, supondo F(x,y) = F(y) que torne exata FMdx + FNdy = 0 teremos:
dyyR
eyF
)(
.)(
onde:
x
N
y
M
M
xR
1
)(
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
153
Em resumo:
Quando a expressão Mdx + Ndynão é diferencial exata, isto é,
x
N
y
M
, mostra-se
que há uma infinidade de funções
),( yxF
, tais que
)( NdyMdxF
é uma diferencial exata.
A esta função
),( yxF
, dá-se o nome de fator integrante.
F(x): F(y):
x
N
y
M
N
xR
1
)(
x
N
y
M
M
yR
1
)(
dxxR
exF
)(
)(
dyyR
eyF
)(
)(
Exemplos:
Resolver as seguintes equações diferenciais transformando em exatas através do fator
integrante.
1) y
2
dx + (xy + 1) dy = 0
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
154
AULA 28- Exercícios
1) (x3 + y2) dx + ( 2xy + cos y) dy = 0
2) ey dx + ( xey – 2y) dy = 0
3) 2xy dx + x2 dy = 0
4) senh x.cosy dx = coshx.seny dy
5)
0)( 22 drrdre
6)
2222 yxy
xdy
y
dy
yx
dx
7) (2cos y + 4x2) dx = x sen y dy
8) 2x tg y dx + sec2 y dy = 0
9) seny dx + cos y dy = 0
10) Encontre a solução particular de
dxyxxydy )(2 22
para
2)1( y
11)
02)( 2 xdydxxy
12)
0ln)( xdyxdxyx
Respostas:
1)
Ksenyxy
x
2
4
4
2)
Cyxe y 2
3) x2y = K
4) coshxcosy = K
5)
Kre 22
6)
Kyxx 22
7) x2 cos y + x4 = C
8)
Ctgyex
2
9)
Ceseny x .
10)
xxy 32
11)
k
5
x2
xy2
2
5
12)
kxyx ln
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
155
AULA 29
11.10 EQUAÇÕES LINEARES:
Uma equação diferencial linear de 1
a
ordem e 1
o
grau tem a forma:
)()( xQyxP
dx
dy
(1)
Se Q(x) = 0, a equação é dita homogênea ou incompleta; enquanto, se Q(x)
0, a equação é
dita não-homogênea ou completa. Analisaremos dois métodos de solução de equações diferenciais
desse tipo a saber:
11.10.1 FATOR INTEGRANTE:
Este método consiste na transformação de uma equação linear em outro do tipo diferencial
exata, cuja solução já estudamos anteriormente. Posto isto, vamos retornando à equação original de
nosso problema:
QPy
dx
dy
Vamos reescrever esta última sob a forma
0)( dydxQPy
Multiplicando ambos os membrospor Pdxe (fator integrante) obtemos a expressão
0 dyedxQPye
PdxPdx . Aqui, identificamos as funções ―M‖ e ―N‖:
QPyeM Pdx
e
PdxeN
Derivando M com relação a y e N com relação a x, obtemos:
Pdx
Pe
y
M
e
Pdx
Pe
x
N
confirmando assim, que a equação transformada é uma equação diferencial exata.
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
156
Exemplo1: Resolver a equação
2 x
x
y
dx
dypor fator integrante:
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
157
11.10.2 SUBSTITUIÇÃO OU DE LAGRANGE:
Esse método foi desenvolvido por Joseph Louis Lagrange
1
(matemático francês: 1736-1813)
criador da Mecânica Analítica e dos processos de Integração das Equações de Derivadas Parciais. O
método consiste na substituição de ―y‖ por ―Z.t‖ na equação (1), onde t =
(x) e Z=
)(x
, sendo Z
a nova função incógnita e t a função a determinar, assim y = Z.t.
Derivando em relação a x, tem-se:
dx
dZ
t
dx
dt
Z
dx
dy
(2)
Substituindo (2) em (1) vamos obter:
QPZt
dx
dZ
t
dx
dt
Z
Q
dx
dZ
tPt
dx
dt
Z
(3)
Para integral a equação (3), examina-se dois casos particulares da equação (1) a saber:
i) P = 0, então dy = Qx, logo,
CQdxy
(4)
ii) Q = 0, então
0 Py
dx
dy
(equação homogênea) que resulta em dy + Pydx = 0 que é de
variáveis separáveis. Daí,
0 Pdx
y
dy
. Integrando essa última, resulta em
PdxCyln
.
Aplicando a definição de logaritmo, passamos a escrever a solução PdxCPdxC eeey . Fazendo
Cek
, temos Pdxkey (5) que representa a solução da equação homogênea ou incompleta.
Agora, vamos pesquisar na equação (3) valores para ―t‖ e ―Z‖, uma vez que y=Z.t, teremos a
solução da equação (1) que uma equação linear completa (não-homogênea). Se igualarmos os
coeficientes de Z a um certo fator, o valor daí obtido poderá ser levado ao resto da equação,
possibilitando a determinação de Z uma vez que ―t‖ pode ser determinado a partir desta condição.
Assim, vamos impor em (3), que o coeficiente de Z seja nulo. Feito isto,
0 Pt
dx
dt
(6), que é da
mesma forma já estudada no caso ii. Assim, Pdxket . Substituindo este resultado em
Q
dx
dZ
t
obtemos
Q
dx
dZ
ke
Pdx
. Daí,
Qe
kdx
dZ Pdx
1
e
Qdxe
k
dZ
Pdx
1
. Integrando este último
1
(Turim, 25 de janeiro de 1736 — Paris, 10 de abril de 1813)foi um matemático francês de origem italiana criador da Mecânica Analítica e
dos processos de Integração das Equações de Derivadas Parciais
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
158
resultado, temos
CQdxe
k
Z
Pdx
1
(7). Lembrando que y = Z.t, vamos obter, substituindo ―t‖ e
―Z‖:
CQdxe
k
key
PdxPdx 1
, onde resulta, finalmente em:
Cdx.Q.eey
PdxPdx (8)
que é a solução geral da equação (1)
Exempo 2: Resolver a equação
2 x
x
y
dx
dy
por Lagrange
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
159
AULA 29 – EXERCÍCIOS
1)
0
cot
x
gx
x
y
dx
dy
2)
arctgxy
dx
dy
x )1( 2
3)
xytgx
dx
dy
cos.
4)
x
x
y
dx
dy
5)
3x
x
y2
dx
dy
6)
senxytgx
dx
dy
7) Achar a solução particular para
0)0(y
em
xcos
1
tgx.y
dx
dy
8) Resolver o problema de valor inicial
3)0(y,xxy2
dx
dy
Respostas:
1)
Csenx
x
y )ln(
1
2)
arctgxeCarctgxy .1
3)
xCxsenxy sec2
4
1
2
1
1
4)
2xCxy
5)
2
4
6
1
x
C
xy
6)
C
xsen
xy
2
sec
2
7)
x
x
y
cos
8)
2xe
2
7
2
1
y
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
160
AULA 30
11.11 EQUAÇÕES NÃO LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM REDUTÍVEIS A
LINEARES:
Resolver equações diferenciais não lineares é muito difícil, mas existemalgumas delas que
mesmo sendo não lineares, podem ser transformadasem equações lineares. Os principais tipos de
tais equações são:
11.11.1 EQUAÇÕES DE BERNOULLI:
Equação da forma:
nyxQyxP
dx
dy
)()(
(1)
para
1n
e
0n
, onde P(x) e Q(x) são funções continuas conhecidas como equação de Bernoulli
2
.
Nesse caso, a idéia é realizar uma substituição na equação acima, demodo a transformá-la em uma
EDO linear.
Pois, se:
n = 0
y’ + P(x)y = g(x) caso anterior
n = 1
y’ + [P(x) – g(x)] y = 0 caso anterior e homogênea
Solução:
Transformação de variável:
Substitui por
ty n 1
Deriva-se em relação a x:
dx
dt
dx
dy
yn n )1(
(2)
Substituindo (1), que é:
nQyPy
dx
dy
PyQy
dx
dy n
em (2) temos:
dx
dt
PyQyyn nn )1(
2
Jakob Bernoulli, ou Jacob, ou Jacques, ou Jacob I Bernoulli (Basileia, 27 de Dezembro de 1652 - Basileia, 16 de agosto de 1705), foi o
primeiro matemático a desenvolver o cálculo infinitesimal para além do que fora feito por Newton e Leibniz, aplicando-o a novos problemas.
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
161
dx
dt
PyQn n 11
como
ty n 1
, temos:
dx
dt
PtQn ))(1(
QntPn
dx
dt
)1(])1[(
Tornando-se assim uma equação linear a ser resolvida pelo método anterior.
Exemplo:
23
2
xy
x
y
dx
dy
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
162
AULA 30 – EXERCÍCIOS
1)
33 yxxy
dx
dy
2)
xyy
dx
dy
x ln2
3)
33 yxy
dx
dy
x
4)
yxy
xdx
dy
4
5)
02 2 xy
dx
dy
xy
6)
3xyxy2
dx
dy
7)
2xyy
x
1
dx
dy
Respostas:
1)
2
.1
1
2 xeCx
y
2)
Cxex
y
).ln(
1
3)
1.2 2223 yxCyx
4) 2
4 ln
2
1
Cxxy
5)
x
C
xy ln.2
6)
Ke
e
y
x
x
2
2
2
2
2 2
7)
Cxx
1
y
2
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
163
AULA 31
11.11.2 EQUAÇÃO DE RICATTI
A equação de Jacopo Francesco Riccati
3
é da forma:
)()()( 2 xRyxQyxP
dx
dy
(1)
onde P, Q e R designam funções de x. Observamos que, quando P(x)=0 temos a equação linear e,
quando R(x) = 0 temos a equação de Bernoulli. Joseph Liouville
4
mostrou que a solução da
equação de Riccati sóé possível quando se conhece uma solução particular y0. Caso contrário, ela
só é integrável através de uma função transcendente
5
.
Resolução:
Conhecendo-se uma solução particular
0y
da equação (1), pode-se resolver facilmente a
equação fazendo a seguinte mudança de variável:
zyy 0
(2)
onde
0y
e
z
dependem de
x
.
Como
0y
é solução, temos:
RQyPy
dx
dy
0
2
0
0
(3)
Por outro lado, derivando (2) tem-se:
dx
dz
dx
dy
dx
dy
0
(4)
Substituindo (2) e (4) na equação (1) :
RzyQzyP
dx
dz
dx
dy
)()( 0
2
0
0
Desenvolvendo e agrupando os termos:
RQyPyzQPyPz
dx
dz
dx
dy
0
2
00
20 )2(
(5)
3(Veneza, 28 de Maio de 1676 - Treviso, 15 de Abril de 1754) foi um matemático e físico italiano que efetuou trabalhos sobre hidráulica
que foram muito importantes para a cidade de Veneza. Ele próprio ajudou a projetar os diques ao longo de vários canais. Considerou diversas classes
de equações diferenciais mas é conhecido principalmente pela Equação de Riccati, da qual ele faz um elaborado estudo e deu soluções em alguns
casos especiais.
4(Saint-Omer, Pas-de-Calais, 24 de Março de 1809 - Paris, 8 de setembro de 1882) foi um matemático francês.
5
Uma função é chamada de transcendente quando não é algébrica (pode ser expressa em termos de somas, diferenças, produtos, quocientes
ou raízes de funções polinomiais). As funções trigonométricas, exponenciais e logarítmicas são exemplos de funções transcedentes.
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
164
Substituindo (3) em (5) e reagrupando, resulta em:
2
0
)2( PzzQPy
dx
dz
(6)
que é uma equação de Bernoulli na variável z, cuja solução já foi desenvolvida.
Em resumo:
Para sua resolução algébrica deveremos conhecer uma solução particular y = y0 qualquer de
(1), na qual a mudança de variáveis y = z + y0, irá eliminar o termo independente R(x)
transformando a equação de Riccatti numa equação de Bernoulli.
Exemplo:
Mostrar que
xy
é solução particular da equação
0121 223 yxxy
dx
dy
x
e
procurar a solução geral.
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
165
AULA 31 – EXERCÍCIOS
1) Verificar se y = x é solução particular da equação
3
2
2
x
y
x
y
dx
dy . Em caso
afirmativo, calcular a solução geral
2) Mostrar que
x
y
1
é solução particular da equação
2
2 2
x
y
dx
dy
e calcular a sua
solução geral.
3) Sabendo que y = 1 é solução particular da equação
1)12( 2 xxyyx
dx
dy
calcular a sua solução geral.
4) Calcular a solução da equação
1
1
12
1 2
xy
x
y
xdx
dy
sabendo que y = x é
solução particular.
5) Dar a solução geral da equação
0232 yy
dx
dy
sabendo que y = - 1 é solução
particular.
Respostas:
1)
1
3
4
5
Kx
xKx
y
2)
kx
x
x
y
3
231
3)
Cxe
Cxe
y
x
x
)1(
)2(
4)
2
322
xk
xxkx
y
5)
1
2
x
x
Ce
Ce
y
Cálculo Diferencial e Integral Prof a Paula Francis Benevides
166
REFERÊNCIAS
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COELHO, F.U. Curso Básico de Cálculo. Editora Saraiva, 2005.
GIOVANNI, J.R.; BONJORNO, J.R.; GIOVANNI JR, J.R. Mátematica Fundamental, Uma
Nova Abordagem. Volume Único. Editora FTD, 2001
GUIDORIZZI, H.L. Um Curso de Cálculo. Vol1 e Vol 2. 5
a
ed. Editora LTC, 2001.
MEDEIROS, V.Z.M; CALDEIRA, A.M; SILVA, L.M.O; MACHADO, M.A.S. Pré-Cálculo.
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