Seja f (x) = x + ex. Mostre que f é inversível e esboce os gráficos de f e de sua inversa.

Para mostrar que a função f(x) = x + e^x é inversível, precisamos mostrar que ela é injetora e sobrejetora. Para mostrar que é injetora, precisamos mostrar que f(x1) = f(x2) implica x1 = x2. Então, suponha que f(x1) = f(x2). Isso significa que x1 + e^x1 = x2 + e^x2. Podemos reorganizar isso para obter (x1 - x2) = e^x2 - e^x1. Como x1 - x2 é uma constante e e^x2 - e^x1 é uma função crescente, isso só pode ser verdade se x1 = x2. Portanto, f é injetora. Para mostrar que é sobrejetora, precisamos mostrar que para cada y em seu contradomínio, existe um x em seu domínio tal que f(x) = y. Podemos reorganizar a equação original para obter e^x = y - x. Como a função exponencial é crescente, existe exatamente um valor de x que satisfaz essa equação para cada y. Portanto, f é sobrejetora. Como f é injetora e sobrejetora, ela é inversível. Para encontrar sua inversa, podemos trocar x e y na equação original e resolver para y: x = y + e^y y = W(x - 1) onde W é a função inversa da função exponencial natural. Então, a inversa de f é dada por f^-1(x) = W(x - 1) - 1. Para esboçar os gráficos de f e sua inversa, podemos usar um software de plotagem ou uma calculadora gráfica. O gráfico de f é uma curva crescente que se aproxima da reta y = x à medida que x cresce. O gráfico de sua inversa é uma curva decrescente que também se aproxima da reta y = x à medida que x cresce.