Seja (x0, y0), x0 > 0 e y0 > 0, um ponto da elipse x2 + 4y2 = 1. Seja T a reta tangente à elipse no ponto (x0, y0). Verifique que T tem por equação...

Para encontrar a equação da reta tangente T à elipse no ponto (x0, y0), podemos utilizar a derivada da equação da elipse em relação a x e y. Temos: 2x + 8yy' = 0 y' = -x/4y Substituindo x0 e y0 na equação acima, temos: y' = -x0/4y0 A equação da reta tangente T é dada por: y - y0 = y'(x - x0) Substituindo y' na equação acima, temos: y - y0 = (-x0/4y0)(x - x0) Simplificando, temos: x0x + 4y0y = 1 Para encontrar x0 de modo que a área do triângulo determinado por T e pelos eixos coordenados seja mínima, podemos utilizar a fórmula da área do triângulo: A = (1/2)bh Onde b e h são a base e a altura do triângulo, respectivamente. A base é dada por 1/x0 e a altura é dada por y0. Portanto, a área do triângulo é dada por: A = (1/2)(1/x0)(y0) Para minimizar a área, devemos maximizar x0. Como x2 + 4y2 = 1, temos: x2 = 1 - 4y2 Substituindo x2 na equação da reta tangente, temos: x0(1 - 4y2) + 4y0y = 1 Isolando x0, temos: x0 = (1 - 4y0y)/(1 - 4y2) Substituindo x0 na fórmula da área do triângulo, temos: A = (1/2)(1/[(1 - 4y0y)/(1 - 4y2)])(y0) Simplificando, temos: A = (1/2)(y0(1 - 4y2))/(1 - 4y0y) Para encontrar o valor mínimo de A, podemos derivar em relação a y e igualar a zero: dA/dy = (1/2)((1 - 4y2) - 8y0y)/(1 - 4y0y)2 = 0 Simplificando, temos: 1 - 4y2 - 8y0y = 0 Resolvendo para y, temos: y = (1 - sqrt(1 - 2y0))/4 Substituindo y na equação da reta tangente, temos: x0 = (1 - 4y0(1 - sqrt(1 - 2y0)))/(1 - 4(1 - sqrt(1 - 2y0))y0) Portanto, x0 é dado por essa equação.