14. Seja f(x, y) � 1 � x2 � y2, x 0 e y 0. Plano tangente ao gráfico de f. z � z0 � ∂ ∂ f x (x0, y0) (x � x0) � ∂ ∂ f y (x0, y0) (y � y0), ou seja...

Question

14. Seja f(x, y) � 1 � x2 � y2, x 0 e y 0. Plano tangente ao gráfico de f. z � z0 � ∂ ∂ f x (x0, y0) (x � x0) � ∂ ∂ f y (x0, y0) (y � y0), ou seja, z � 1 � x y0 2 0 2� � �2x0 (x � x0) � 2y0 (y � y0). Daí, z � �2x0x � 2y0y � x0 2 � y0 2 � 1. A seguir vamos determinar o volume do tetraedro determinado pelo plano tangente e pelos planos coordenados. Temos x � 0 e y � 0 Þ z x y� � �0 2 0 2 1, x � 0 e z � 0 Þ y x y y � � �0 2 0 2 0 1 2 e y � 0 e z � 0 Þ x x y x � � �0 2 0 2 0 1 2. Da Geometria Analítica sabemos que o volume do tetraedro é 1 6 do volume do paralelepípedo. Portanto, V x y x y x y x y � � � � �1 6 1 4 1 24 0 2 0 2 3 0 0 0 2 0 2 3 0 0 ( ) ( ) . Devemos minimizar a função volume: V(x, y) � ( ) . x y xy 2 2 31 24 � � ∂ ∂ V x x y x y x y ( , ) ( ) � � � �2 2 2 2 2 2 1 5 1 24 e ∂ ∂ V y x y x y y x x y ( , ) ( ) .� � � �2 2 2 2 2 2 1 5 1 24 Resolvendo o sistema 5 1 5 1 2 2 2 2 x y y x � � � � � � Ï Ì Ó temos x � � 1 2 e y � � 1 2. Mas x 0 e y 0, portanto, (x0, y0, z0) � 1 2 1 2 1 2 , , .Ê Ë � ¯ Equação do plano tangente que forma com os planos coordenados um tetraedro de volume mínimo: z � �2x0x � 2y0y � x y0 2 0 2 1� � , ou seja, z � x � y � 3 2.

Ed · Answer

A questão apresenta um problema de cálculo multivariável, onde é necessário encontrar o plano tangente ao gráfico da função f(x,y) = 1 - x² - y² no ponto (x0,y0) = (1/2,1/2). O plano tangente é dado por z = -2x0(x-x0) - 2y0(y-y0) + f(x0,y0), que, substituindo os valores, resulta em z = x + y - 3/2. Em seguida, é necessário determinar o volume do tetraedro formado pelos planos coordenados e pelo plano tangente. Utilizando a fórmula do volume do tetraedro, que é 1/6 do volume do paralelepípedo formado pelos vetores (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) e (-1,-1,1), temos que o volume do tetraedro é 1/24. Por fim, é necessário minimizar a função de volume V(x,y) = (1/6)xy(1-x)(1-y), que resulta em x = 1/2 e y = 1/2, e portanto, o ponto de mínimo é (1/2,1/2).

14. Seja f(x, y) � 1 � x2 � y2, x 0 e y 0. Plano tangente ao gráfico de f. z � z0 � ∂ ∂ f x (x0, y0) (x � x0) � ∂ ∂ f y (x0, y0) (y � y0), ou seja...

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Cálculo I • Universidade Federal de PernambucoUniversidade Federal de Pernambuco

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