(x) é tal que, para todo x ∈ Df, xf(x) + sen f (x) = 4. Mostre que para todo x ∈ Df, com x + cos f (x) ≠ 0.

Para mostrar que para todo x ∈ Df, com x + cos f (x) ≠ 0, podemos usar o método da contradição. Suponha que existe um x ∈ Df tal que x + cos f (x) = 0. Então, podemos reescrever a equação original como xf(x) + sen f (x) = 4 como: xf(x) = 4 - sen f(x) Agora, podemos derivar ambos os lados da equação em relação a x: f(x) + xf'(x) = cos f(x) Substituindo x + cos f (x) = 0, temos: f(x) - xf'(x) = x Agora, podemos multiplicar a primeira equação por cos(x) e a segunda por sen(x) e somá-las: f(x)cos(x) - xf'(x)cos(x) + f(x)sen(x) - xf'(x)sen(x) = xsen(x) + cos(x)f(x) Usando a identidade trigonométrica sen(x + y) = sen(x)cos(y) + cos(x)sen(y), podemos reescrever a equação como: f(x + π/2) - xf'(x + π/2) = xcos(x + π/2) + sen(x + π/2)f(x) Agora, podemos usar o Teorema de Rolle para concluir que existe um c ∈ (x, x + π/2) tal que f'(c) = 0. Mas isso contradiz a hipótese de que xf(x) + sen f (x) = 4 para todo x ∈ Df. Portanto, nossa suposição inicial de que x + cos f (x) = 0 é falsa, e concluímos que para todo x ∈ Df, com x + cos f (x) ≠ 0.