Suponha que f admite derivada até a 4.ª ordem contínua no intervalo aberto I e seja p ∈ I. Prove que se f′ (p) = f″ (p) = f″′ (p) = 0 e f(4) (p) ≠ ...

Para resolver esse problema, podemos usar o Teorema de Taylor. Sabemos que a expansão de Taylor de f em torno de p é dada por: f(x) = f(p) + f'(p)(x-p) + (f''(p)/2!)(x-p)^2 + (f'''(p)/3!)(x-p)^3 + (f''''(p)/4!)(x-p)^4 + R(x) Onde R(x) é o resto da série de Taylor. Como f′ (p) = f″ (p) = f″′ (p) = 0, a expansão de Taylor fica: f(x) = f(p) + (f''''(p)/4!)(x-p)^4 + R(x) Se f(4) (p) ≠ 0, então f''''(p) ≠ 0. Se f''''(p) < 0, então o termo (x-p)^4 é negativo próximo a p, e f(x) será menor que f(p) para valores próximos a p, o que significa que p é um ponto de máximo local. Se f''''(p) > 0, então o termo (x-p)^4 é positivo próximo a p, e f(x) será maior que f(p) para valores próximos a p, o que significa que p é um ponto de mínimo local. Podemos generalizar esse resultado para os Exercícios 2 e 3, que envolvem a segunda e terceira derivadas, respectivamente. Se f''(p) ≠ 0, então podemos usar a expansão de Taylor de segunda ordem para mostrar que p é um ponto de máximo local se f''(p) < 0 e um ponto de mínimo local se f''(p) > 0. Se f'''(p) ≠ 0, então podemos usar a expansão de Taylor de terceira ordem para mostrar que p é um ponto de máximo local se f'''(p) < 0 e um ponto de mínimo local se f'''(p) > 0.