Sejam f uma função derivável até a 5.ª ordem no intervalo aberto I e p ∈ I. Suponha f(5) contínua em p. Prove que f″ (p) = f″′ (p) = f(4) (p) = 0 e...

Para provar que p é um ponto de inflexão de f, precisamos mostrar que a concavidade de f muda em p. Isso ocorre quando a segunda derivada de f muda de sinal em p. Além disso, a terceira, quarta e quinta derivadas de f em p devem ser iguais a zero. Dado que f(5) é contínua em p, podemos aplicar o teorema de Taylor para escrever: f(x) = f(p) + f'(p)(x-p) + (f''(p)/2)(x-p)^2 + (f'''(p)/6)(x-p)^3 + (f''''(p)/24)(x-p)^4 + (f'''''(q)/120)(x-p)^5 onde q é um ponto entre x e p. Agora, podemos usar a informação dada no problema para mostrar que f''(p) = f'''(p) = f''''(p) = 0. Para isso, basta derivar a expressão acima e avaliá-la em p: f'(p) = f'(p) f''(p) = f''(p)/2 f'''(p) = f'''(p)/2 f''''(p) = f''''(p)/6 f'''''(p) = f'''''(p)/24 Como f''(p) = f'''(p) = f''''(p) = 0, podemos simplificar a expressão acima para: f(x) = f(p) + (f''''(p)/24)(x-p)^4 + (f'''''(q)/120)(x-p)^5 Agora, podemos usar a informação dada no problema para mostrar que f(5) (p) ≠ 0. Isso implica que f''''(p) ≠ 0, pois caso contrário, teríamos f(5) (p) = 0. Portanto, podemos concluir que f''''(p) tem um sinal definido. Finalmente, podemos concluir que p é um ponto de inflexão de f, pois a segunda derivada de f muda de sinal em p, já que f''(p) = 0 e f''''(p) tem um sinal definido. Além disso, a terceira, quarta e quinta derivadas de f em p são iguais a zero, como exigido pelo problema. Para generalizar esse resultado, podemos mostrar que, se f tem uma derivada contínua até a n-ésima ordem em um intervalo aberto I e f(n+1) é contínua em p, então f''(p) = f'''(p) = ... = f^(n)(p) = 0 e f^(n+1)(p) ≠ 0 é uma condição suficiente para p ser um ponto de inflexão de f. A demonstração é semelhante à apresentada acima, usando o teorema de Taylor com um polinômio de Taylor de ordem n.