EXEMPLO 4. Seja f derivável até a 2.ª ordem no intervalo aberto I e seja p ∈ I. Suponha f″ contínua em p. Prove que f″ (p) = 0 é condição necessári...

Para provar que f''(p) = 0 é uma condição necessária para p ser um ponto de inflexão de f, podemos usar o seguinte raciocínio: Se p é um ponto de inflexão de f, então a concavidade de f muda em p. Isso significa que, se f é côncava à esquerda de p, ela deve ser convexa à direita de p, ou vice-versa. A segunda derivada de f nos dá informações sobre a concavidade de f. Se f''(p) > 0, então f é côncava para cima em p, o que significa que f é côncava à esquerda de p e convexa à direita de p. Se f''(p) < 0, então f é côncava para baixo em p, o que significa que f é convexa à esquerda de p e côncava à direita de p. No entanto, se f''(p) = 0, não podemos concluir nada sobre a concavidade de f em p. Isso ocorre porque f pode ser côncava ou convexa em ambos os lados de p, ou pode ter uma mudança de concavidade de ordem superior em p. Portanto, f''(p) = 0 é uma condição necessária, mas não suficiente, para p ser um ponto de inflexão de f.