EXEMPLO 7 (Relação entre trabalho e energia cinética). Uma partícula de massa m desloca-se sobre o eixo x com função de posição x = x (t) em que x ...

Para verificar que o trabalho realizado pela resultante, de x0 a x1, é igual à variação na energia cinética, podemos utilizar o Teorema Trabalho-Energia Cinética. Esse teorema estabelece que o trabalho realizado pela força resultante sobre um objeto é igual à variação da energia cinética desse objeto. A energia cinética de uma partícula de massa m que se move com velocidade v é dada por K = (1/2)mv². A variação da energia cinética entre dois instantes t0 e t1 é ΔK = K1 - K0 = (1/2)m(v1² - v0²). O trabalho realizado pela força resultante sobre a partícula é dado por W = ∫F(x)dx, onde a integral é calculada de x0 até x1. Como a força resultante é na direção do deslocamento, podemos escrever F(x) = ma(x), onde a(x) é a aceleração da partícula na posição x. Como a aceleração é a segunda derivada da posição em relação ao tempo, temos a(x) = d²x/dt². Substituindo na expressão do trabalho, temos: W = ∫F(x)dx = ∫ma(x)dx = m∫d²x/dt² dx Integrando por partes, temos: W = m[d(x/dt)dx - ∫(d²x/dt²)(dx/dt)dt] (de x0 até x1) Como x(t) é derivável até a 2ª ordem em [t0, t1], podemos escrever dx/dt = v e d²x/dt² = a. Substituindo na expressão acima, temos: W = m[v1(x1 - x0) - ∫a(v)dt] (de t0 até t1) A integral ∫a(v)dt é a integral da aceleração em relação ao tempo, que pode ser escrita como ∫a(v)dv/dx dx. Usando a regra da cadeia, temos: W = m[v1(x1 - x0) - ∫v(dv/dx)dx] (de x0 até x1) Integrando, temos: W = m[v1(x1 - x0) - (1/2)(v1² - v0²)] Substituindo na expressão da variação da energia cinética, temos: ΔK = (1/2)m(v1² - v0²) Portanto, podemos verificar que o trabalho realizado pela resultante, de x0 a x1, é igual à variação na energia cinética.