Suponha que a região A do plano, situada no semiplano y ≥ 0, possa ser dividida em duas partes A1 e A2 às quais se aplica, em relação ao eixo x, o ...

O teorema de Pappus é um teorema da geometria que permite calcular o volume e a área de sólidos de revolução. Ele é aplicado quando um objeto é rotacionado em torno de um eixo. No enunciado, é dito que a região A do plano pode ser dividida em duas partes A1 e A2, às quais se aplica o teorema de Pappus em relação ao eixo x. Além disso, a área de A é igual à soma das áreas de A1 e A2, e Vx = V1x + V2x, em que V1x, V2x e Vx são os volumes respectivos dos sólidos obtidos pela rotação em torno do eixo x de A1, A2 e A. Para mostrar que o teorema de Pappus também se aplica a A em relação ao eixo x, é necessário demonstrar que o volume de A obtido pela rotação em torno do eixo x é igual ao produto da área de A por uma distância d, que é a distância percorrida pelo centro de gravidade de A durante a rotação. Para isso, é possível dividir A em infinitas fatias verticais de largura dx. Cada fatia pode ser rotacionada em torno do eixo x, gerando um sólido de revolução de volume dV = πy²dx, em que y é a distância da fatia ao eixo x. Integrando de 0 a ∞, temos: Vx = ∫₀^∞ πy²dx A área de A é dada por: A = ∫₀^∞ 2ydx Como A = A1 + A2, temos: A = ∫₀^∞ 2ydx = ∫₀^∞ 2y1dx + ∫₀^∞ 2y2dx Em que y1 e y2 são as distâncias das partes A1 e A2, respectivamente, ao eixo x. Substituindo as expressões de A e Vx, temos: Vx = ∫₀^∞ πy²dx = ∫₀^∞ πy1²dx + ∫₀^∞ πy2²dx = V1x + V2x Portanto, o teorema de Pappus também se aplica a A em relação ao eixo x. Para estabelecer um resultado análogo em relação ao eixo y, basta repetir o mesmo processo, mas considerando que A está situada no semiplano x ≥ 0.