Para o esboço do gráfico de uma função f, sugerimos o roteiro: explicitar o domínio; determinar os intervalos de crescimento e de decrescimento; es...

O roteiro sugerido para o esboço do gráfico de uma função f é: 1. Explicitar o domínio; 2. Determinar os intervalos de crescimento e de decrescimento; 3. Estudar a concavidade e destacar os pontos de inflexão; 4. Calcular os limites laterais de f, em p, nos casos: p ∉ Df, mas p é extremo de um dos intervalos que compõem Df. p ∈ Df, mas f não é contínua em p. Calcular os limites para x → +∞ e x → −∞. 5. Determinar ou localizar as raízes de f. Para o exemplo dado, f(x) = x³ - x² - x + 1, podemos seguir os seguintes passos: 1. O domínio de f é o conjunto dos números reais, pois não há restrições para a variável x. 2. Para determinar os intervalos de crescimento e decrescimento, podemos calcular a primeira derivada de f e encontrar seus zeros. Temos: f'(x) = 3x² - 2x - 1 Igualando a derivada a zero, encontramos os pontos críticos: 3x² - 2x - 1 = 0 x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a x = (-(-2) ± √((-2)² - 4(3)(-1))) / 2(3) x = (2 ± √25) / 6 x1 = 1/3 e x2 = -1 Agora, podemos montar a seguinte tabela de sinais: x | -∞ | -1 | 1/3 | +∞ f'(x) | - | - | + | + Isso significa que f é decrescente no intervalo (-∞, -1) e crescente no intervalo (-1, 1/3) e (1/3, +∞). 3. Para estudar a concavidade e destacar os pontos de inflexão, podemos calcular a segunda derivada de f e encontrar seus zeros. Temos: f''(x) = 6x - 2 Igualando a segunda derivada a zero, encontramos o ponto de inflexão: 6x - 2 = 0 x = 1/3 Agora, podemos montar a seguinte tabela de sinais: x | -∞ | 1/3 | +∞ f''(x) | - | + | + Isso significa que f é côncava para baixo no intervalo (-∞, 1/3) e côncava para cima no intervalo (1/3, +∞). O ponto de inflexão é (1/3, f(1/3)). 4. Para calcular os limites laterais de f, podemos observar que f é uma função polinomial e, portanto, é contínua em todos os pontos do seu domínio. Logo, não há necessidade de calcular limites laterais. 5. Para determinar as raízes de f, podemos utilizar o Teorema de Bolzano. Como f(-1) = 3 e f(0) = 1, temos que há uma raiz no intervalo (-1, 0). Como f(1) = 0, temos que a outra raiz é 1. Com essas informações, podemos esboçar o gráfico de f(x) = x³ - x² - x + 1, como mostrado na alternativa (c).