Verifique que 1 − t + t2 − t3 + … + (−1)n tn é o polinômio de Taylor, de ordem n, de em volta de 0.

O polinômio de Taylor de uma função f(x) de ordem n em torno de x = a é dado por: Pn(x) = f(a) + f'(a)(x-a)/1! + f''(a)(x-a)²/2! + ... + fⁿ(a)(x-a)ⁿ/n! No caso da função f(t) = 1/(1+t), temos: f(t) = 1/(1+t) f'(t) = -1/(1+t)² f''(t) = 2/(1+t)³ f'''(t) = -6/(1+t)⁴ ... fⁿ(t) = (-1)ⁿ * n! / (1+t)ⁿ⁺¹ Agora, vamos calcular o polinômio de Taylor de f(t) em t = 0: Pn(t) = f(0) + f'(0)t/1! + f''(0)t²/2! + ... + fⁿ(0)tⁿ/n! Pn(t) = 1 + (-1)t + 2t² - 6t³ + ... + (-1)ⁿ * n! / (n+1) * tⁿ Note que o polinômio obtido é exatamente o mesmo que foi dado na questão. Portanto, podemos concluir que 1 − t + t² − t³ + … + (−1)ⁿ * tⁿ é o polinômio de Taylor de ordem n da função f(t) = 1/(1+t) em torno de 0.