Mostre que P (x) = 1 + x + x2 é o polinômio de Taylor, de ordem 2, de f em volta de x0 = 0.

Para mostrar que P(x) = 1 + x + x^2 é o polinômio de Taylor, de ordem 2, de f em torno de x0 = 0, precisamos verificar se os coeficientes do polinômio de Taylor são iguais aos coeficientes da série de Taylor de f em torno de x0 = 0, até a ordem 2. A série de Taylor de f em torno de x0 = 0 é dada por: f(x) = f(0) + f'(0)x + (f''(0)/2!)x^2 + R2(x) Onde R2(x) é o resto da série de Taylor de ordem 2. Calculando as derivadas de f(x), temos: f(x) = 1 + x + x^2 f'(x) = 1 + 2x f''(x) = 2 Substituindo na série de Taylor, temos: f(x) = f(0) + f'(0)x + (f''(0)/2!)x^2 + R2(x) f(x) = 1 + 0 + (2/2!)x^2 + R2(x) f(x) = 1 + x^2 + R2(x) Comparando com o polinômio de Taylor P(x), vemos que os coeficientes são iguais até a ordem 2: P(x) = 1 + x + x^2 Portanto, P(x) é o polinômio de Taylor, de ordem 2, de f em torno de x0 = 0.