PROPRIEDADES DA ADIÇÃO Nosso objetivo, nesta seção, é provar que a adição satisfaz as propriedades (A1), (A2), (A3), (A4) e (0A). Para provar (A4),...

PROPRIEDADES DA ADIÇÃO Nosso objetivo, nesta seção, é provar que a adição satisfaz as propriedades (A1), (A2), (A3), (A4) e (0A). Para provar (A4), vamos precisar do Lema. Sejam a um número real, u < 0 um racional e Mα o conjunto das cotas superiores de α. Nestas condições, existem p ∈ α, q ∈ Mα, q ≠ mín Mα (caso mín Mα exista), tais que p − q = u. Demonstração Estamos interessados em determinar p ∈ α, q ∈ Mα, q ≠ mín Mα, com p − q = u. Para isto tomemos um racional s ∉ α, com s ≠ mín Mα, e, para cada n ∈ ℕ, consideremos o racional qn = nu + s. Seja, agora, o máximo dos naturais n para os quais qn ∈ Mα e qn ≠ mín Mα. Dois casos podem ocorrer: 1.º CASO. Tomando-se p − q = u. 2.º CASO. (que só poderá ocorrer se mín Mα existir). Tomando-se com p ∈ α e q ∈ Mα, q ≠ mín Mα. Teorema. A adição satisfaz as propriedades: A1) Associativa: ∀ α, β, γ ∈ ℝ, α + (β + γ) = (α + β) + γ. A2) Comutativa: ∀ α, β ∈ ℝ, α + β = β + α. A3) Existência de elemento neutro: ∀ α ∈ ℝ, α + 0* = α. A4) Existência de oposto: Para todo α ∈ ℝ, existe β ∈ ℝ com α + β = 0*. 0A) Compatibilidade da adição com a ordem: ∀ α, β, γ ∈ ℝ, α ≤ β ⇒ α + γ ≤ β + γ. Demonstração A1) e (A2) ficam a seu cargo. A3

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11/03/2024

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Verônica de Lima

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A propriedade A4 da adição afirma que para todo número real α, existe um número real β tal que α + β = 0*. Para provar essa propriedade, é necessário utilizar o Lema e considerar um número real u < 0 e um conjunto Mα das cotas superiores de α. A partir disso, é possível encontrar um racional s ∉ α e, para cada n ∈ ℕ, considerar o racional qn = nu + s. Em seguida, é preciso tomar o máximo dos naturais n para os quais qn ∈ Mα e qn ≠ mín Mα (caso mín Mα exista). Dois casos podem ocorrer: no primeiro caso, tomando-se p − q = u, é possível provar a propriedade A4. No segundo caso, tomando-se p ∈ α e q ∈ Mα, q ≠ mín Mα, é possível provar a propriedade A4. As outras propriedades da adição são: - A1) Associativa: ∀ α, β, γ ∈ ℝ, α + (β + γ) = (α + β) + γ. - A2) Comutativa: ∀ α, β ∈ ℝ, α + β = β + α. - A3) Existência de elemento neutro: ∀ α ∈ ℝ, α + 0* = α. - 0A) Compatibilidade da adição com a ordem: ∀ α, β, γ ∈ ℝ, α ≤ β ⇒ α + γ ≤ β + γ. A demonstração das propriedades A1), A2) e A3) não foi apresentada no texto.

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