Neste exercício você deverá admitir como conhecidas apenas as propriedades (A1) a (A4), (M1) a (M4), (D), (O1) a (O4), (OA) e (OM). Supondo x, y re...

Para provar que x · 0 = 0, podemos usar a propriedade (O1), que diz que para qualquer número real x, x + 0 = x. Podemos reescrever x · 0 como x · (0 + 0). Usando a propriedade distributiva (D), temos x · (0 + 0) = x · 0 + x · 0. Como x · 0 é igual a 0 (pela propriedade (O4)), temos x · (0 + 0) = 0 + 0, o que nos leva a x · 0 = 0. Para provar que (-x)y = -xy, podemos usar a propriedade (M3), que diz que (-1) · x = -x para qualquer número real x. Podemos reescrever (-x)y como (-1) · x · y. Usando a propriedade associativa (A3), temos (-1) · x · y = (-1) · (x · y). Usando a propriedade (M3), temos (-1) · (x · y) = -(x · y), o que nos leva a (-x)y = -xy. Para provar que x(-y) = -xy, podemos usar a propriedade (M4), que diz que (-1) · y = -y para qualquer número real y. Podemos reescrever x(-y) como x · (-1) · y. Usando a propriedade associativa (A3), temos x · (-1) · y = (-1) · x · y. Usando a propriedade (M3), temos (-1) · x · y = -xy, o que nos leva a x(-y) = -xy. Para provar que (-x)(-y) = xy, podemos usar as propriedades que já provamos acima. Temos (-x)(-y) = -x(-y) (pela propriedade (M2)). Usando a propriedade que acabamos de provar, temos -x(-y) = -(-xy), o que nos leva a (-x)(-y) = xy. Para provar que x2 ≥ 0, podemos usar a propriedade (M2), que diz que para qualquer número real x, x2 ≥ 0. Isso é verdade porque o quadrado de qualquer número real é sempre não negativo. Para provar que 1 > 0, podemos usar a propriedade (O3), que diz que 1 > 0. Isso é verdade porque 1 é maior do que 0. Para provar que x > 0 ⇔ x−1 > 0, podemos usar a propriedade (OA), que diz que para qualquer número real x, x > 0 ⇔ 1/x > 0. Podemos reescrever x−1 como 1/x. Usando a propriedade (OA), temos x > 0 ⇔ 1/x > 0, o que nos leva a x > 0 ⇔ x−1 > 0. Para provar que xy = 0 ⇔ x = 0 ou y = 0, podemos usar a propriedade (O4), que diz que para qualquer número real x, x · 0 = 0. Se xy = 0, então pelo menos um dos fatores deve ser igual a 0. Portanto, temos x = 0 ou y = 0. Por outro lado, se x = 0 ou y = 0, então xy = 0 (pela propriedade (O4)). Para provar que x2 = y2 ⇔ x = y ou x = −y, podemos usar a propriedade (M1), que diz que para qualquer número real x, x · x = x2. Podemos reescrever x2 = y2 como x2 - y2 = 0. Usando a propriedade (D), temos (x + y)(x - y) = 0. Portanto, temos x + y = 0 ou x - y = 0. Se x + y = 0, então x = -y. Se x - y = 0, então x = y. Para provar que se x ≥ 0 e y ≥ 0, x2 = y2 ⇔ x = y, podemos usar a propriedade (M1), que diz que para qualquer número real x, x · x = x2. Podemos reescrever x2 = y2 como x2 - y2 = 0. Usando a propriedade (D), temos (x + y)(x - y) = 0. Como x ≥ 0 e y ≥ 0, temos x + y ≥ 0 e x - y ≥ 0. Portanto, temos x - y = 0, o que nos leva a x = y.