IDENTIFICAÇÃO DE ℚ COM Inicialmente, vamos definir aplicação bijetora (aplicação e função são palavras sinônimas). Sejam A e B dois conjuntos não ...
IDENTIFICAÇÃO DE ℚ COM
Inicialmente, vamos definir aplicação bijetora (aplicação e função são palavras sinônimas). Sejam A e B dois conjuntos não vazios e φ uma aplicação de A e B.
Dizemos que φ é bijetora se Im φ = B
∀ s, t ∈ A, s ≠ t ⇒ φ(s) ≠ φ(t).
A condição (i) significa que φ é sobrejetora e a (ii), injetora. Deste modo, φ é bijetora se, e somente se, φ for injetora e sobrejetora.
Seja α um número real. Dizemos que α é um número real racional se existe um racional r tal que α = r*.
O conjunto dos números reais racionais será indicado por ℚ.
Seja α um número real. Se α não pertencer a ℚ diremos que α é um número real irracional. Verifique que α = ℚ− ∪ { x ∈ ℚ+ | x2 < 2 } é um número real irracional.
Olhemos, agora, para a aplicação φ dada por φ(r) = r*, que a cada racional r associa o real racional r*. Tal aplicação é bijetora (verifique). Além disso, temos:
(i) φ(r + s) = (r + s)* = r* + s* = φ(r) + φ(s).
(ii) φ(r · s) = (rs)* = r* · s* = φ(r) · φ(s).
(iii) r ≤s ⇔ r* ≤ s*.
Tal aplicação φ nos permite, então, identificar o racional r com o real racional r*. Neste sentido, podemos olhar para ℚ como subconjunto de ℝ.
Inicialmente, vamos definir aplicação bijetora (aplicação e função são palavras sinônimas). Sejam A e B dois conjuntos não vazios e φ uma aplicação de A e B.
Dizemos que φ é bijetora se Im φ = B
∀ s, t ∈ A, s ≠ t ⇒ φ(s) ≠ φ(t).
A condição (i) significa que φ é sobrejetora e a (ii), injetora. Deste modo, φ é bijetora se, e somente se, φ for injetora e sobrejetora.
Seja α um número real. Dizemos que α é um número real racional se existe um racional r tal que α = r*.
O conjunto dos números reais racionais será indicado por ℚ.
Seja α um número real. Se α não pertencer a ℚ diremos que α é um número real irracional. Verifique que α = ℚ− ∪ { x ∈ ℚ+ | x2 < 2 } é um número real irracional.
Olhemos, agora, para a aplicação φ dada por φ(r) = r*, que a cada racional r associa o real racional r*. Tal aplicação é bijetora (verifique). Além disso, temos:
(i) φ(r + s) = (r + s)* = r* + s* = φ(r) + φ(s).
(ii) φ(r · s) = (rs)* = r* · s* = φ(r) · φ(s).
(iii) r ≤s ⇔ r* ≤ s*.
Tal aplicação φ nos permite, então, identificar o racional r com o real racional r*. Neste sentido, podemos olhar para ℚ como subconjunto de ℝ.
💡 1 Resposta
Ed 
A identificação de ℚ com ℝ é feita através da aplicação bijetora φ(r) = r*, que associa a cada número racional r um número real racional r*. Essa aplicação é bijetora, ou seja, é injetora e sobrejetora. Além disso, essa aplicação satisfaz as propriedades (i), (ii) e (iii) mencionadas na questão. Dessa forma, podemos identificar o conjunto dos números racionais ℚ como um subconjunto do conjunto dos números reais ℝ.
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