02_Introdução_módulo3_vol2 MATEMATICA

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Mo´dulo 3
Polinoˆmios com coeficientes
reais
Gauss
1777-1855, Alemanha.
Carl Friedrich Gauss, um
meˆs antes de completar 19
anos, havia feito uma
importante descoberta - a
construc¸a˜o com re´gua e
compasso do pol´ıgono
regular de 17 lados. Esse foi
um avanc¸o considera´vel em
relac¸a˜o a` Matema´tica grega.
Havia 2000 anos que sabia-se
construir com re´gua e
compasso o triaˆngulo
equila´tero, o penta´gono
regular, assim como outros
pol´ıgonos regulares com
nu´mero de lados mu´ltiplo de
dois, treˆs e cinco, mas
nenhum outro pol´ıgono com
nu´mero de lados primo.
Entre as contribuic¸o˜es de
Gauss, ainda como
estudante, esta˜o o me´todo
dos mı´nimos quadrados, a lei
de reciprocidade quadra´tica
e o Teorema Fundamental da
A´lgebra.
No enderec¸o:
http://www-history.mcs.st
-andrews.ac.uk/∼history/
Mathematicians/Gauss.html
podem ser encontradas mais
informac¸o˜es sobre Gauss.
Em tais ocasio˜es, sinto vibrar em mim, com grande vivacidade, o
verdadeiro sentido de
√−1, mas creio que sera´
extraordinariamente dif´ıcil exprimi-lo
com palavras . . .
Gauss
O objetivo deste mo´dulo e´ estudar os polinoˆmios com coeficientes reais,
suas operac¸o˜es de adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o e algumas propriedades elementa-
res, tais como: os conceitos de divisibilidade e fatorac¸a˜o de polinoˆmios em
produto de poteˆncias de fatores da forma x − a, onde a ∈ R, e x2 + bx + c,
onde b e c sa˜o nu´meros reais tais que b2 − 4c < 0.
Veremos que a construc¸a˜o desta fatorac¸a˜o esta´ relacionada com a exis-
teˆncia de ra´ızes complexas para os polinoˆmios com coeficientes reais.
O conjunto dos nu´meros reais na˜o tem ra´ızes para todos os polinoˆmios com
coeficientes reais. Para determinarmos todas as ra´ızes, precisamos de um
conjunto de nu´meros maior, o conjunto dos nu´meros complexos C.
Vamos definir o conjunto dos nu´meros complexos C, que conte´m R,
suas operac¸o˜es de adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o, e estudar algumas das propriedades
relevantes para obter a fatorac¸a˜o dos polinoˆmios com coeficientes reais.
Finalmente, conhecendo os nu´meros complexos, finalizamos este Mo´dulo
com o famoso Teorema Fundamental da A´lgebra, a saber: Todo polinoˆmio de
grau n ≥ 1 com coeficientes reais possui exatamente n ra´ızes complexas. Este
teorema foi demonstrado por Gauss em 1799 que, no decorrer de sua vida,
apresentou ainda treˆs demonstrac¸o˜es desse mesmo teorema, e D’Alembert
dispendeu grandes esforc¸os tentando demonstra´-lo.
§1. Polinoˆmios e operac¸o˜es
Conceitos:
Nu´meros reais e operac¸o˜es,
frac¸o˜es irredut´ıveis.
Nesta sec¸a˜o definiremos o conjunto dos polinoˆmios com coeficientes
reais e suas operac¸o˜es de adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o. Estudaremos as proprieda-
des destas operac¸o˜es, relacionadas diretamente com as propriedades da adic¸a˜o
e multiplicac¸a˜o de nu´meros reais, e aprenderemos a efetua´-las na pra´tica.
Daremos o algoritmo de Euclides para polinoˆmios e ensinaremos a deter-
minar o quociente e o resto do algoritmo, em um problema do tipo “arme
a conta e efetue os ca´lculos”. A existeˆncia de raiz real em um polinoˆmio
com coeficientes reais sera´ relacionada com a divisibilidade por polinoˆmios
lineares. Veremos que ha´ polinoˆmios com coeficientes reais sem ra´ızes reais.
Determinar, quando existem, as ra´ızes reais de um polinoˆmio na˜o e´ um
problema fa´cil. Discutiremos um me´todo para procurar as ra´ızes racionais
de polinoˆmios com coeficientes inteiros.
Considerando a importaˆncia da divisa˜o de um polinoˆmio por um po-
linoˆmio linear, vamos apresentar o dispositivo de Briot-Ruffini. Finaliza-
remos com a divisa˜o sucessiva por polinoˆmios lineares, relacionada com o
conceito de ra´ızes mu´ltiplas.