1. Seja a um inteiro. Mostre que se a é par, então a2 também é par. Mostre que se a é impar, então a2 também é impar.

Para mostrar que se a é par, então a² também é par, podemos utilizar a definição de número par: um número é par se e somente se ele pode ser escrito na forma 2k, onde k é um número inteiro. Assim, se a é par, podemos escrever a = 2k para algum k inteiro. Então, a² = (2k)² = 4k², que é um número par, pois pode ser escrito na forma 2m, onde m = 2k² é um número inteiro. Portanto, se a é par, então a² também é par. Para mostrar que se a é ímpar, então a² também é ímpar, podemos utilizar a mesma definição de número ímpar: um número é ímpar se e somente se ele pode ser escrito na forma 2k + 1, onde k é um número inteiro. Assim, se a é ímpar, podemos escrever a = 2k + 1 para algum k inteiro. Então, a² = (2k + 1)² = 4k² + 4k + 1 = 2(2k² + 2k) + 1, que é um número ímpar, pois pode ser escrito na forma 2m + 1, onde m = 2k² + 2k é um número inteiro. Portanto, se a é ímpar, então a² também é ímpar.