7. (Unesp 99) Duas rodovias retilíneas A e B se cruzam formando um ângulo de 45°. Um posto de gasolina se encontra na rodovia A, a 4 km do cruzamen...

Para resolver esse problema, podemos utilizar a trigonometria. Primeiro, vamos traçar um esboço da situação descrita. Temos duas rodovias retilíneas A e B que se cruzam formando um ângulo de 45°. Um posto de gasolina se encontra na rodovia A, a 4 km do cruzamento. Pelo posto passa uma rodovia retilínea C, perpendicular à rodovia B. Podemos observar que o triângulo formado pelas rodovias A, B e C é um triângulo retângulo, com o ângulo reto no ponto em que a rodovia C toca a rodovia B. Agora, podemos utilizar a tangente do ângulo formado pelas rodovias A e B para encontrar a distância do posto de gasolina à rodovia B. Temos que: tan(45°) = AB/BC Como o ângulo é de 45°, temos que a tangente é igual a 1. Substituindo na fórmula, temos: 1 = AB/BC AB = BC Agora, podemos utilizar o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo formado pelas rodovias A, B e C para encontrar o valor de BC. Temos que: AC² = AB² + BC² Substituindo pelos valores que temos, temos: (4² + BC²) = BC² Simplificando, temos: 16 = BC² - BC² 16 = 0 Isso é impossível, o que significa que cometemos um erro em algum lugar. Podemos perceber que o erro foi na equação AB = BC. Na verdade, AB é igual a 4 km, que é a distância do posto de gasolina até o cruzamento das rodovias A e B. Assim, temos que: tan(45°) = AB/BC 1 = 4/BC BC = 4 Agora, podemos utilizar o teorema de Pitágoras novamente para encontrar a distância do posto de gasolina à rodovia B. Temos que: AC² = AB² + BC² AC² = 4² + 4² AC² = 32 AC = √32 = 4√2 Portanto, a distância do posto de gasolina à rodovia B, indo através de C, é de 4√2 km. A resposta correta é a letra E) 2√2.