6. (Ufes 99) Quantos são os números naturais de cinco algarismos, na base 10, que têm todos os algarismos distintos e nenhum deles igual a 8, 9 ou ...

Para resolver esse problema, podemos utilizar o Princípio Fundamental da Contagem. Primeiro, vamos contar quantos números de cinco algarismos podemos formar com os algarismos de 1 a 7 (já que não podemos usar 8, 9 ou 0). Para o primeiro algarismo, temos 5 opções (1, 2, 3, 4 ou 5). Para o segundo algarismo, temos 6 opções (pois podemos usar qualquer um dos 6 algarismos que sobraram). Para o terceiro algarismo, temos 5 opções (pois já usamos um dos algarismos). Para o quarto algarismo, temos 4 opções e, para o quinto algarismo, temos 3 opções. Portanto, o número total de números de cinco algarismos que podemos formar é: 5 x 6 x 5 x 4 x 3 = 1800 Agora, para contar quantos desses números são pares, precisamos observar que o último algarismo deve ser 2 ou 4 (os únicos algarismos pares que podemos usar). Para o primeiro algarismo, temos 4 opções (já que não podemos usar o algarismo 0). Para o segundo algarismo, temos 5 opções (pois já usamos um dos algarismos). Para o terceiro algarismo, temos 4 opções. Para o quarto algarismo, temos 3 opções. E, finalmente, para o quinto algarismo, temos 2 opções (2 ou 4). Portanto, o número total de números de cinco algarismos que podemos formar e que são pares é: 4 x 5 x 4 x 3 x 2 = 480 Portanto, o número total de números de cinco algarismos que podemos formar com os algarismos de 1 a 7 e que são pares é 480.