Podemos afirmar que a soma dos itens corretos é 37. Explicação: (01) O resto da divisão do polinômio p(x)=x³+2x²+3x+ x²+x+x por x-1 é igual a 6. Para resolver essa questão, podemos utilizar o Teorema do Resto, que afirma que o resto da divisão de um polinômio p(x) por (x-a) é igual a p(a). Substituindo x=1 em p(x), temos: p(1) = 1³+2.1²+3.1+1²+1+1 = 9 O resto da divisão é igual a 9 - 1 = 8, e não 6. Portanto, o item (01) está incorreto. (02) Dividindo-se o polinômio p(x) pelo polinômio g(x), obtém-se quociente q(x) e resto r(x); então, o grau de r(x) é menor do que o grau de g(x). Essa afirmação é verdadeira, pois o grau do resto é sempre menor do que o grau do divisor. Portanto, o item (02) está correto. (04) Sendo p(x)=4x³+ax²+2x- x², q(x)=bx³+2x²+cx- x e, para todo x, p(x)+q(x)=0, tem-se que a.b.|c|=2². Podemos resolver essa questão utilizando a igualdade p(x)+q(x)=0 e substituindo os polinômios dados: 4x³+ax²+2x- x² + bx³+2x²+cx- x = 0 Somando os termos semelhantes, temos: (4+b)x³ + (a+2+c)x² + (2-1)x = 0 Simplificando, temos: (4+b)x³ + (a+2+c)x² + x = 0 Como essa igualdade vale para todo x, podemos afirmar que os coeficientes de cada termo devem ser iguais a zero: 4+b = 0 a+2+c = 0 1 = 0 (isso não é verdadeiro, portanto, há um erro na questão) Portanto, o item (04) está incorreto. (08) Sendo m o grau dos polinômios p(x) e q(x), então o grau do polinômio p(x)+q(x) é igual a m. Essa afirmação é verdadeira, pois o grau do polinômio soma é igual ao grau do polinômio de maior grau. Portanto, o item (08) está correto. (16) A soma de todos os zeros do polinômio p(x)=x²-4x+5 pertence ao intervalo ]0,5]. Podemos utilizar a fórmula para a soma das raízes de um polinômio de segundo grau: S = -b/a Substituindo os valores de p(x), temos: S = -(-4)/(1) = 4 A soma das raízes é igual a 4, que não pertence ao intervalo ]0,5]. Portanto, o item (16) está incorreto. (32) Se p(x)=x²-ax+b e q(x)=ax²-bx+2 são tais que p(1)=5 e q(-1)=4, então (a+b)²=2. Podemos resolver essa questão utilizando as informações dadas: p(1) = 5 q(-1) = 4 Substituindo os valores dos polinômios, temos: 1²-a+b = 5 (-1)²-a(-1)+b = 4 Simplificando, temos: 1-a+b = 5 a+b-1 = 4 Somando as duas equações, temos: 2a+2b = 10 a+b = 5 Substituindo a+b em (32), temos: (a+b)² = 5² = 25 Portanto, o item (32) está correto. Somando os itens corretos, temos: 02 + 08 + 32 = 42 Subtraindo o item incorreto, temos: 42 - 01 - 04 - 16 = 21 Portanto, a soma dos itens corretos é 21.