(Ufba) Na(s) questão(ões) a seguir escreva nos parênteses a soma dos itens corretos. 3. Em trigonometria, é verdade: (01) Sendo sen x = - 4/5 e x p...

Analisando as afirmações: (01) Sendo sen x = - 4/5 e x pertencente ao terceiro quadrante, então cos (x/2) = -1/5. Podemos utilizar a fórmula cos(x/2) = ±√((1+cosx)/2) para encontrar o valor de cos(x/2). Como x pertence ao terceiro quadrante, sabemos que cosx é negativo. Então, temos cosx = -√(1-sen²x) = -3/5. Substituindo na fórmula, temos cos(x/2) = -√((1-3/5)/2) = -1/5. Portanto, a afirmação é verdadeira. (02) se x + y = ™/3, então cos(3x - 3y) = 2 sen£3y - 1. Podemos utilizar a fórmula cos(a-b) = cosacosb + sinasinb para encontrar o valor de cos(3x-3y). Temos cos(3x-3y) = cos(2x+x-2y+y) = cos2xcosx - sin2xsinx + 2sinxcosxsiny - cos2ysiny. Substituindo x+y=π/3, temos cos2x = cos²(π/3-x) = (1+cos2(π/3-2x))/2 = (1+3sin²x)/4 e sin2x = 2sinxcosx. Substituindo na fórmula, temos cos(3x-3y) = (1+3sin²x)/4 - 3sin²x/4 + 3sinx(1-sin²x)/2 - (1+3sin²y)/2 = 3/4 - 9/4sin²x + 3/2sinx - 1/2sin²y. Não é possível simplificar mais a expressão. Portanto, a afirmação é falsa. (04) Existe x Æ [™/4, 5™/2], tal que sen£x + 3 cosx = 3. Podemos utilizar a fórmula de Bhaskara para encontrar o valor de x. Temos a equação 9cos²x + 2senx - 9 = 0. Como 9cos²x é sempre positivo, a equação só terá solução se 2senx - 9 < 0, ou seja, senx < 9/2. No entanto, o valor máximo de senx é 1, então a equação não tem solução no intervalo dado. Portanto, a afirmação é falsa. (08) A função inversa de f(x) = cos é g(x) = sec x. A função inversa de f(x) = cos é f⁻¹(x) = arccos(x). Portanto, a afirmação é falsa. (16) Num triângulo, a razão entre dois de seus lados é 2, e o ângulo por eles formado mede 60°; então o triângulo é retângulo. Podemos utilizar a lei dos cossenos para encontrar o valor do terceiro lado do triângulo. Temos c² = a² + b² - 2abcosC, onde C é o ângulo oposto ao lado c. Como a/b = 2, temos a = 2b. Substituindo na equação, temos c² = 5b² - 4bcosC. Como C = 60°, temos cosC = 1/2. Substituindo na equação, temos c² = 5b² - 2b. Podemos reescrever a equação como (c/b)² - 5(c/b) + 2 = 0. Resolvendo a equação do segundo grau, temos (c/b) = (5±√17)/2. Como (c/b) > 1, temos (c/b) = (5+√17)/2. Portanto, o triângulo não é retângulo. A afirmação é falsa. Soma (01+16) = 17. Portanto, a alternativa correta é a letra a) 17.