202. (Ufpe) Sejam x�, x‚ e xƒ as raízes da equação x¤ - 6x£ + 3x - 1 = 0. Determine o polinômio x¤ + ax£ + bx + c que tem raízes x�x‚, x�xƒ e x‚xƒ ...

Para encontrar o polinômio x¤ + ax£ + bx + c que tem raízes x�x‚, x�xƒ e x‚xƒ, podemos utilizar a relação entre as raízes e os coeficientes do polinômio. Sabemos que a soma das raízes de um polinômio de segundo grau é igual a -b/a e o produto das raízes é igual a c/a. Para um polinômio de terceiro grau, podemos utilizar a mesma lógica, mas com algumas adaptações. Sabemos que as raízes do polinômio x¤ - 6x£ + 3x - 1 = 0 são x�, x‚ e xƒ. Portanto, podemos escrever: x¤ - 6x£ + 3x - 1 = (x - x�)(x - x‚)(x - xƒ) Expandindo o produto do lado direito, temos: x¤ - (x� + x‚ + xƒ)x£ + (x�x‚ + x�xƒ + x‚xƒ)x - x�x‚xƒ = 0 Comparando com o polinômio x¤ + ax£ + bx + c, temos: a = -(x� + x‚ + xƒ) = 6 b = x�x‚ + x�xƒ + x‚xƒ c = -x�x‚xƒ = 1 Para encontrar o valor de b, podemos utilizar a relação entre as raízes e os coeficientes do polinômio novamente. Sabemos que: x�x‚ + x�xƒ + x‚xƒ = -b/a Substituindo os valores de a e das raízes, temos: x�x‚ + x�xƒ + x‚xƒ = -b/6 x�x‚ + x�xƒ + x‚xƒ = -b/6 x�x‚ + x�xƒ + x‚xƒ = -b/6 Multiplicando as três equações, temos: (x�x‚ + x�xƒ + x‚xƒ)³ = (-b/6)³ x�x‚x�xƒx‚xƒ = -b³/216 b = -6x�x‚xƒ Portanto, o polinômio procurado é: x¤ + 6x£ - 6x�x‚xƒ + 1 E o produto abc é: a * b * c = 6 * (-6x�x‚xƒ) * 1 = -36x�x‚xƒ