16. (Ufes) Se a e b são números reais positivos que satisfazem à relação a£-b£<2ab, então a) 0 < a/b < Ë2 + 1 b) Ë2 - 1 < a/b < 2Ë2 c) 1 ´ a/b < 2...

Podemos começar resolvendo a desigualdade dada: a£-b£<2ab Podemos dividir ambos os lados por ab: a/b - 1£-1/b Adicionando 1/b em ambos os lados, temos: a/b£1 + 1/b Podemos multiplicar ambos os lados por b: a£b + 1 Agora, podemos usar a desigualdade de AM-GM: a + b/2≥√(ab) Multiplicando ambos os lados por 2, temos: 2a + b≥2√(ab) Substituindo b por 2a - a/b, temos: 2a + 2a - a/b≥2√(a(2a - a/b)) Simplificando, temos: 4a - a/b≥2√(2a² - a²/b) 4a - a/b≥2a√(2 - 1/b) Substituindo a/b por x, temos: 4a - ax≥2a√(2 - 1/x) Dividindo ambos os lados por 2a, temos: 2 - x/2≥√(2 - 1/x) Elevando ambos os lados ao quadrado, temos: 4 - 4x + x²/4≥2 - 1/x Multiplicando ambos os lados por 4, temos: 16 - 16x + x²≥8x - 4 Movendo todos os termos para o lado esquerdo, temos: x² - 24x + 20≥0 Resolvendo a equação do segundo grau, temos: x≤2 - √6 ou x≥2 + √6 Como x = a/b, podemos substituir x nas opções dadas: a) 0 < a/b < √2 + 1 b) √2 - 1 < a/b < 2√2 c) 1 × a/b < 2 + √2 d) 0 < a/b < √2 - 1 ou √2 + 1 < a/b < 2 + √2 e) 0 < a/b × 1 ou 2√2 < a/b < 2 + √2 A única opção que contém os valores de x que encontramos é a letra d: 0 < a/b < √2 - 1 ou √2 + 1 < a/b < 2 + √2 Portanto, a resposta correta é a letra d.