6. Calcule a integral definida por substituição trigonométrica. a) ∫ 2 0 x3 16− x2 dx b) ∫ 4 0 1 (16 + x2) 3 2 dx c) ∫ 3 √ 3√ 3 1 x2 √ x2 + 9...

a) Para calcular a integral ∫(0 até 2) x³/(16-x²) dx por substituição trigonométrica, faça a substituição x = 4 sen(t). Então, dx = 4 cos(t) dt e 16 - x² = 16 cos²(t). Substituindo na integral, temos: ∫(0 até 2) x³/(16-x²) dx = ∫(0 até π/4) (4 sen(t))³/(16 cos²(t)) * 4 cos(t) dt = 64/16 ∫(0 até π/4) sen³(t)/cos²(t) dt = 4 ∫(0 até π/4) sen(t)/cos²(t) * sen(t) dt = 4 ∫(0 até π/4) sen²(t)/cos²(t) dt = 4 ∫(0 até π/4) (1 - cos²(t))/cos²(t) dt = 4 ∫(0 até π/4) (1/cos²(t) - 1) dt = 4 [tg(t) + 1/tg(t)] (0 até π/4) = 4 [(1/1) + 1/(4/3)] = 4 (3/4 + 3/4) = 6 Portanto, a resposta para a alternativa a) é 6. b) Para calcular a integral ∫(0 até 4) (16 + x²)^(3/2) dx por substituição trigonométrica, faça a substituição x = 4 tan(t). Então, dx = 4 sec²(t) dt e 16 + x² = 16 sec²(t). Substituindo na integral, temos: ∫(0 até 1) (16 + x²)^(3/2) dx = ∫(0 até π/4) (16 tan²(t) + 16)^(3/2) * 4 sec²(t) dt = 64 ∫(0 até π/4) (tan²(t) + 1)^(3/2) sec²(t) dt = 64 ∫(0 até π/4) (sec^4(t) - 1)^(3/2) sec²(t) dt = 64 ∫(0 até π/4) (1/cos^4(t) - 1)^(3/2) cos²(t) dt = 64 ∫(0 até π/4) (1/cos^6(t) - 1/cos^2(t))^(3/2) cos²(t) dt = 64 ∫(0 até π/4) (1/cos^6(t) - 1/cos^2(t))^(3/2) cos^3(t) sen(t) dt = 64 ∫(0 até π/4) (1 - cos^4(t))^(3/2) sen(t) dt Fazendo a substituição u = cos²(t), temos: du/dt = -2 sen(t) cos(t) = -2 sen(t) √(1 - sen²(t)) = -2 sen(t) √(cos²(t)) = -2 sen(t) cos(t) = -2 u^(1/2) (1 - u)^(1/2) dt = -du/(2 u^(1/2) (1 - u)^(1/2)) Substituindo na integral, temos: ∫(0 até π/4) (1 - cos^4(t))^(3/2) sen(t) dt = -32 ∫(1 até 0) (1 - u^2)^(3/2) du/(u^(1/2) (1 - u)^(1/2)) = 32 ∫(0 até 1) (1 - u^2)^(3/2) du/(u^(1/2) (1 - u)^(1/2)) = 32 B(5/2, 1/2) = 32 Γ(5/2) Γ(1/2) / Γ(3) = 32 (3/4) √π = 24 √π Portanto, a resposta para a alternativa b) é 24√π. c) Para calcular a integral ∫(1 até 3√3) x²/√(x² + 9) dx por substituição trigonométrica, faça a substituição x = 3 tan(t). Então, dx = 3 sec²(t) dt e x² + 9 = 9 sec²(t) + 9 = 9 (sec²(t) + 1) = 9 tan²(t) + 9. Substituindo na integral, temos: ∫(1 até 3√3) x²/√(x² + 9) dx = ∫(π/6 até π/3) 9 tan²(t) sec²(t) dt = 9 ∫(π/6 até π/3) tan²(t) dt = 9 ∫(π/6 até π/3) (sec²(t) - 1) dt = 9 [tg(t) - t] (π/6 até π/3) = 9 [(√3 - 1/3) - (√3/3 - 1/6)] = 9/2 Portanto, a resposta para a alternativa c) é 9/2.