pelo eixo x e pelas retas x = 1 e x = 2 é rotacionada em torno do eixo x
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Ed 
há 2 anos
Para encontrar o volume do sólido de revolução gerado pela região limitada pela curva y = x³, pelo eixo x e pelas retas x = 1 e x = 2, rotacionada em torno do eixo x, podemos utilizar o método dos discos ou o método das cascas cilíndricas. Método dos discos: - Divida a região em infinitas fatias de espessura dx. - Para cada fatia, calcule a área do disco gerado pela rotação em torno do eixo x. - Some todas as áreas dos discos para obter o volume total. Assim, temos: V = ∫[1,2] πy² dx V = ∫[1,2] π(x³)² dx V = π ∫[1,2] x^6 dx V = π [(1/7)x^7] [1,2] V = π [(1/7)2^7 - (1/7)1^7] V = π [(128/7) - (1/7)] V = (127/7)π Portanto, o volume do sólido de revolução é (127/7)π.
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3. Calcule a integral definida utilizando integração por partes.
a)
∫ 2
0
x23x dx
b)
∫ 2
−1
ln(x+ 2) dx
c)
∫ π2
2
0
cos(
√
2x) dx
d)
∫ 2
0
xe2x dx
4. Deduza a fórmula
∫
xrex dx = xrex − r
∫
xr−1ex dx, onde r é qualquer número real.
7. Utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo, parte II, calcule F ′(x):
a) F (x) =
∫ x
0
esen(t) dt
b) F (x) =
∫ x
0
√
4 + t6 dt
c) F (x) =
∫ x
2
1
t4 + 4
dt
8. Se f(x) =
∫ x
0
t cos(t)dt, então qual é o valor de f(
√
π
2
)?
9. Considere: f(x) = 1− 2
∫ sen(x)
0
t dt. Qual o conjunto de todas as soluções de f(x) = 0?
10. Seja x0 o ponto do intervalo [0, π/2] tal que cos(x0) = x0. Sendo assim, qual o valor de∫ x0
0
t sen(t) dt?
11. Calcule o valor de x que satisfaz o Teorema do Valor Médio para Integrais no intervalo de
integração especificado.
a)
∫ 4
0
(x2 + x− 6) dx
b)
∫ 2
−2
(x3 + 1) dx
c)
∫ 1
−2
x4 dx
d)
∫ 5
0
(x3 − 1) dx
12. Calcule o valor médio de f no intervalo dado.
a) f(x) = sen(x)
b) f(x) = x, [0, 1]
c) f(x) = |x|, [−1, 1]
d) f(x) = cos(x), [−π
2
, π
2
]
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