19. Deduza a fórmula para o volume de uma esfera, rotacionando a região limitada pela circunferência x2 + y2 = r2 e pelo eixo x em torno do eixo x

Para deduzir a fórmula para o volume de uma esfera, podemos rotacionar a região limitada pela circunferência x² + y² = r² e pelo eixo x em torno do eixo x. Ao fazer isso, obtemos uma esfera de raio r. Podemos calcular o volume da esfera usando integração. Dividindo a esfera em fatias infinitesimais, cada fatia pode ser considerada como um disco de raio y e espessura dy. O volume de cada disco é dado por dV = πy²dy. Integrando de y = -r a y = r, obtemos o volume da esfera: V = ∫(de -r até r) πy²dy V = π∫(de -r até r) y²dy V = π[y³/3] (de -r até r) V = π[(r³/3) - (-r³/3)] V = π[(2r³/3)] V = (4πr³/3) Portanto, a fórmula para o volume de uma esfera é V = (4πr³/3).