1. Encontre os extremos absolutos da função dada sobre o intervalo indicado. a) f(x) = x3 − 6x2 + 2; [−3, 2] b) f(x) = −x3 − x2 + 5x; [−2, 2] c) f...

a) Para encontrar os extremos absolutos, precisamos encontrar os pontos críticos e os pontos de extremos locais. Derivando a função, temos: f'(x) = 3x² - 12x Igualando a zero, temos: 3x² - 12x = 0 3x(x - 4) = 0 x = 0 ou x = 4 Agora, precisamos verificar os valores da função nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo: f(-3) = -19 f(2) = -10 f(0) = 2 f(4) = -30 Portanto, o valor máximo absoluto é 2 e o valor mínimo absoluto é -30. b) Derivando a função, temos: f'(x) = -3x² - 2x + 5 Igualando a zero, temos: -3x² - 2x + 5 = 0 Usando a fórmula de Bhaskara, encontramos: x = -1 ou x = 5/3 Agora, precisamos verificar os valores da função nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo: f(-2) = 12 f(2) = -12 f(-1) = 6 f(5/3) = 25/27 Portanto, o valor máximo absoluto é 12 e o valor mínimo absoluto é -12. c) Derivando a função, temos: f'(x) = 4x³ - 10x² + 4x Igualando a zero, temos: 4x(x - 1)(x + 1/2) = 0 Os pontos críticos são x = -1/2, x = 0 e x = 1. Agora, precisamos verificar os valores da função nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo: f(-1) = 0 f(2) = 16 f(-1/2) = 27/16 f(1) = 0 Portanto, o valor máximo absoluto é 16 e o valor mínimo absoluto é 0. d) Derivando a função, temos: f'(x) = -4sen(2x) + 8sen(4x) Igualando a zero, temos: -4sen(2x) + 8sen(4x) = 0 sen(2x)(2cos(2x) - 1) = 0 Os pontos críticos são x = π/8, x = 3π/8, x = 5π/8 e x = 7π/8. Agora, precisamos verificar os valores da função nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo: f(0) = 2 f(2π) = 2 f(π/8) = 1,71 f(3π/8) = 1,71 f(5π/8) = -1,71 f(7π/8) = -1,71 Portanto, o valor máximo absoluto é 2 e o valor mínimo absoluto é -1,71. e) Derivando a função, temos: f'(x) = 6x - 12 Igualando a zero, temos: 6x - 12 = 0 x = 2 Agora, precisamos verificar os valores da função nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo: f(0) = 3 f(3) = 0 f(2) = 3 Portanto, o valor máximo absoluto é 3 e o valor mínimo absoluto é 0. f) Derivando a função, temos: f'(x) = (x² - x + 1) - x(2x - 1) / (x² - x + 1)² Igualando a zero, temos: (x² - x + 1) - x(2x - 1) / (x² - x + 1)² = 0 x³ - x² + x - (2x³ - x² - x) / (x² - x + 1)² = 0 x⁴ - 2x³ + 2x² - x + 1 = 0 Não é possível encontrar as raízes dessa equação de forma analítica. Portanto, precisamos usar métodos numéricos para encontrar os pontos críticos. Agora, precisamos verificar os valores da função nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo: f(0) = 0 f(3) = 3/5 Portanto, o valor máximo absoluto é 3/5 e o valor mínimo absoluto é 0. g) Derivando a função, temos: f'(x) = 1 - 1/x Igualando a zero, temos: 1 - 1/x = 0 x = 1 Agora, precisamos verificar os valores da função nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo: f(1/2) = 0,193 f(2) = 1,306 Portanto, o valor máximo absoluto é 1,306 e o valor mínimo absoluto é 0,193. h) Derivando a função, temos: f'(x) = (4 - x²)^(-3/2) Igualando a zero, temos: (4 - x²)^(-3/2) = 0 Não existem pontos críticos nesse intervalo. Agora, precisamos verificar os valores da função nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo: f(0) = 0 f(8) = 2/3 Portanto, o valor máximo absoluto é 2/3 e o valor mínimo absoluto é 0.